Um balde em forma de tronco de cone, com altura de 1 m , raio do fundo de 0,3 \mathrm{~m} e raio do topo de 0,6 \mathrm{~m}, está sendo preenchido com água a uma taxa constante de 5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. A água mantém a forma do tronco de cone enquanto enche o balde. A que taxa, aproximadamente, a altura da água está aumentando no instante em que ela atinge 0,5 \mathrm{~m} de altura?
(A) 50 / \pi \mathrm{m} / \mathrm{min}
(B) 27,5 / \pi \mathrm{m} / \mathrm{min}
(C) 25 / \pi \mathrm{m} / \mathrm{min}
(D) 12,5 / \pi \mathrm{m} / \mathrm{min}
(E) 10 / \pi \mathrm{m} / \mathrm{min}
Passo 1
O que o problema dá e pede (resumidamente):
O balde tem a forma de um tronco de cone com altura total \;1\\ \mathrm{m}\;.
Raio do fundo (base menor) \;r_{\text{fundo}}=0{,}3\\ \mathrm{m}\;.
Raio do topo (base maior) \;r_{\text{topo}}=0{,}6\\ \mathrm{m}\;.
A água está sendo adicionada com taxa constante \;\dfrac{dV}{dt}=5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}\;.
A água sempre forma um tronco de cone semelhante ao balde (mesma forma), com altura atual \;h\; e raio superior da água \;r(h).
O que se pede: encontrar a taxa de variação da altura da água \;\dfrac{dh}{dt}\; no instante em que \;h=0{,}5\\ \mathrm{m}\;.
Passo 2
Definir variáveis e relacionar o raio superior da água com a altura usando semelhança de triângulos.
Seja \;a=0{,}3\\ \mathrm{m}\; o raio do fundo (constante).
Para uma altura de água \;h\; (medida a partir do fundo), o raio no topo da água será \;r(h), que varia linearmente entre a (em h=0) e 0{,}6 (em h=1).
Pela semelhança de triângulos a variação é linear, então
Explicação curta: como o cone “abre” uniformemente, em cada aumento de altura o raio cresce proporcionalmente, por isso a relação linear.
Passo 3
Escrever a fórmula do volume do tronco de cone e explicar o que cada termo significa.
Fórmula conhecida (pode ser obtida como diferença de volumes de cones) para o volume do tronco de cone de altura \;h\;, com raios das bases \;R_1 (fundo) e \;R_2 (topo), é
V=\frac{\pi h}{3}\left(R_1^2+R_1R_2+R_2^2\right).
Aqui:
\;h\; é a altura do tronco (altura da água),
\;R_1 é o raio inferior (aqui R_1=a=0{,}3),
\;R_2 é o raio superior (aqui R_2=r(h)),
o fator \;\dfrac{\pi h}{3}\; aparece pela integração/forma geométrica do cone.
Passo 4
Substituir R_1=a e R_2=r(h)=a(1+h) na fórmula e simplificar V como função de h.
Calcular a derivada \dfrac{dV}{dh} que relaciona como o volume muda quando a altura muda (essa derivada será usada para ligar \dfrac{dV}{dt} e \dfrac{dh}{dt}).
Diferenciando V(h)=\dfrac{\pi a^2}{3}(3h+3h^2+h^3) em relação a h:
Breve didática: \dfrac{dV}{dh} é a “sensibilidade” do volume em relação à altura; para obter \dfrac{dh}{dt} basta dividir a taxa de enchimento \dfrac{dV}{dt} por essa sensibilidade.
Comparar com as alternativas fornecidas e escolher a mais próxima.
As alternativas (escritas em forma \text{valor}/\pi) comparadas com nosso resultado \dfrac{2000}{81\pi}\approx\dfrac{24{,}691}{\pi}:
\dfrac{25}{\pi} é \dfrac{25}{\pi}\approx\frac{25}{\pi} que corresponde a 25 no numerador, muito próximo de 24{,}691.
Logo a alternativa mais próxima e correta, considerando “aproximadamente”, é a (C): \dfrac{25}{\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}.