Um balde em forma de tronco de cone, com altura de 1 m , raio do fundo de 0,3 \mathrm{~m} e raio do topo de 0,6 \mathrm{~m}, está sendo preenchido com água a uma taxa constante de 5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. A água mantém a forma do tronco de cone enquanto enche o balde. A que taxa, aproximadamente, a altura da água está aumentando no instante em que ela atinge 0,5 \mathrm{~m} de altura?
(A) 50 / \pi \mathrm{m} / \mathrm{min}
(B) 27,5 / \pi \mathrm{m} / \mathrm{min}
(C) 25 / \pi \mathrm{m} / \mathrm{min}
(D) 12,5 / \pi \mathrm{m} / \mathrm{min}
(E) 10 / \pi \mathrm{m} / \mathrm{min}

Passo 1

O que o problema dá e pede (resumidamente):
  • O balde tem a forma de um tronco de cone com altura total \;1\\ \mathrm{m}\;.
  • Raio do fundo (base menor) \;r_{\text{fundo}}=0{,}3\\ \mathrm{m}\;.
  • Raio do topo (base maior) \;r_{\text{topo}}=0{,}6\\ \mathrm{m}\;.
  • A água está sendo adicionada com taxa constante \;\dfrac{dV}{dt}=5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}\;.
  • A água sempre forma um tronco de cone semelhante ao balde (mesma forma), com altura atual \;h\; e raio superior da água \;r(h).
  • O que se pede: encontrar a taxa de variação da altura da água \;\dfrac{dh}{dt}\; no instante em que \;h=0{,}5\\ \mathrm{m}\;.

Passo 2

Definir variáveis e relacionar o raio superior da água com a altura usando semelhança de triângulos.
  • Seja \;a=0{,}3\\ \mathrm{m}\; o raio do fundo (constante).
  • Para uma altura de água \;h\; (medida a partir do fundo), o raio no topo da água será \;r(h), que varia linearmente entre a (em h=0) e 0{,}6 (em h=1).
  • Pela semelhança de triângulos a variação é linear, então
r(h)=r_{\text{fundo}}+\frac{r_{\text{topo}}-r_{\text{fundo}}}{\text{altura total}}\,h
Substituindo números:
r(h)=0{,}3+\frac{0{,}6-0{,}3}{1}\,h=0{,}3+0{,}3h=0{,}3(1+h).
Explicação curta: como o cone “abre” uniformemente, em cada aumento de altura o raio cresce proporcionalmente, por isso a relação linear.

Passo 3

Escrever a fórmula do volume do tronco de cone e explicar o que cada termo significa.
Fórmula conhecida (pode ser obtida como diferença de volumes de cones) para o volume do tronco de cone de altura \;h\;, com raios das bases \;R_1 (fundo) e \;R_2 (topo), é
V=\frac{\pi h}{3}\left(R_1^2+R_1R_2+R_2^2\right).
Aqui:
  • \;h\; é a altura do tronco (altura da água),
  • \;R_1 é o raio inferior (aqui R_1=a=0{,}3),
  • \;R_2 é o raio superior (aqui R_2=r(h)),
  • o fator \;\dfrac{\pi h}{3}\; aparece pela integração/forma geométrica do cone.

Passo 4

Substituir R_1=a e R_2=r(h)=a(1+h) na fórmula e simplificar V como função de h.
V(h)=\frac{\pi h}{3}\bigl(a^2+a\cdot a(1+h)+a^2(1+h)^2\bigr).
Fatorando a^2:
V(h)=\frac{\pi a^2 h}{3}\bigl(1+(1+h)+(1+h)^2\bigr).
Calcular o polinômio:
1+(1+h)+(1+h)^2=1+(1+h)+(1+2h+h^2)=3+3h+h^2.
Portanto
V(h)=\frac{\pi a^2}{3}\bigl(3h+3h^2+h^3\bigr).

Passo 5

Calcular a derivada \dfrac{dV}{dh} que relaciona como o volume muda quando a altura muda (essa derivada será usada para ligar \dfrac{dV}{dt} e \dfrac{dh}{dt}).
Diferenciando V(h)=\dfrac{\pi a^2}{3}(3h+3h^2+h^3) em relação a h:
\frac{dV}{dh}=\frac{\pi a^2}{3}\bigl(3+6h+3h^2\bigr).
Fatorando 3 dentro:
\frac{dV}{dh}=\frac{\pi a^2}{3}\cdot 3\bigl(1+2h+h^2\bigr)=\pi a^2(1+2h+h^2).
Reconhecendo um quadrado perfeito:
\frac{dV}{dh}=\pi a^2(1+h)^2.
Substituir a=0{,}3 (portanto a^2=0{,}09):
\frac{dV}{dh}=0{,}09\pi(1+h)^2.
Breve didática: \dfrac{dV}{dh} é a “sensibilidade” do volume em relação à altura; para obter \dfrac{dh}{dt} basta dividir a taxa de enchimento \dfrac{dV}{dt} por essa sensibilidade.

Passo 6

Relacionar as taxas e avaliar em h=0{,}5.
A relação das taxas é
\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\cdot\frac{dh}{dt}\quad\Rightarrow\quad \frac{dh}{dt}=\frac{\dfrac{dV}{dt}}{\dfrac{dV}{dh}}.
Avaliar \dfrac{dV}{dh} em h=0{,}5:
1+h=1{,}5,\qquad (1+h)^2=2{,}25.
Portanto
\left.\frac{dV}{dh}\right|_{h=0{,}5}=0{,}09\pi\cdot 2{,}25=0{,}2025\pi.
Agora usar \dfrac{dV}{dt}=5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}:
\left.\frac{dh}{dt}\right|_{h=0{,}5}=\frac{5}{0{,}2025\pi}=\frac{5}{\tfrac{81}{400}\pi}=\frac{2000}{81}\cdot\frac{1}{\pi}.
Como fração isso é \dfrac{2000}{81\pi}. Em forma numérica aproximada:
\frac{2000}{81}\approx24{,}691\quad\Rightarrow\quad \frac{dh}{dt}\approx\frac{24{,}691}{\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}\approx7{,}86\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}.

Passo 7

Comparar com as alternativas fornecidas e escolher a mais próxima.
As alternativas (escritas em forma \text{valor}/\pi) comparadas com nosso resultado \dfrac{2000}{81\pi}\approx\dfrac{24{,}691}{\pi}:
  • \dfrac{25}{\pi} é \dfrac{25}{\pi}\approx\frac{25}{\pi} que corresponde a 25 no numerador, muito próximo de 24{,}691.
    Logo a alternativa mais próxima e correta, considerando “aproximadamente”, é a (C): \dfrac{25}{\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}.

Resposta

(C) \dfrac{25}{\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}

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