A Balística é considerada a ciência que estuda o movimento dos projéteis, necessitando de técnicas e conhecimento da Física e da Química em seus estudos. Uma das técnicas consegue determinar a velocidade com que um projétil sai de uma arma. A técnica consiste em disparar a arma na horizontal com um bloco de madeira logo à frente, pendurado por fios. O projétil se aloja no bloco, dando-lhe movimento. Guiado pelos fios, o bloco se comporta como um pêndulo. O experimentador mede a diferença entre a altura máxima e a mínima do movimento do bloco. Digamos que essa técnica seja usada com um projétil de 160 g e um bloco de 23,84 \mathrm{~kg}. Considerando \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, qual a velocidade que esse projétil é disparado se a diferença entre a altura máxima e mínima do bloco com o projétil medisse 20 cm ?
a) 200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
b) 250 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
c) 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede que se determine a velocidade inicial do projétil com base numa experiência em que o projétil se aloja no bloco e o conjunto sobe uma altura medida. Dados fornecidos:
  • massa do projétil: m=0,160\\ \mathrm{kg} (peguei do enunciado, 160\\ \mathrm{g});
  • massa do bloco: M=23,84\\ \mathrm{kg} (peguei do enunciado);
  • diferença entre a altura máxima e mínima do bloco com o projétil: h=0,20\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado, 20\\ \mathrm{cm});
  • aceleração gravitacional: g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} (peguei do enunciado).
O que se pede:
  • encontrar a velocidade inicial u do projétil imediatamente antes do impacto.

Passo 2

Entendendo o choque e as leis que usamos (aula rápida):
  • Quando o projétil se aloja no bloco ocorre um choque perfeitamente inelástico. Em choques inelásticos a energia cinética total NÃO é conservada (parte vira calor, deformação etc.), mas o momento linear do sistema é conservado se não há forças externas impulsivas horizontais relevantes.
  • Portanto, aplicamos a conservação do momento linear no instante do impacto:
m\,u = (M+m)\,v,
onde:
  • u é a velocidade do projétil imediatamente antes do impacto (o que queremos);
  • v é a velocidade comum do conjunto bloco+projétil imediatamente após o impacto;
  • m e M são as massas já especificadas.
Essa equação vem da definição de momento linear p = m v e da conservação: momento total antes = momento total depois.

Passo 3

Como relacionar v com a altura máxima medida:
  • Após o impacto o conjunto bloqueio+projétil sobe, convertendo a energia cinética inicial do conjunto em energia potencial gravitacional até atingir a altura máxima h. Nesse processo (sem atrito significativo nos fios), a energia mecânica do conjunto é conservada após o choque.
  • Assim, a energia cinética do conjunto imediatamente após o choque é igual ao ganho de energia potencial na subida:
\frac{1}{2}(M+m)\,v^{2} = (M+m)\,g\,h.
  • Podemos simplificar (M+m) dos dois lados (não é zero), obtendo a relação para v:
v = \sqrt{2gh}.
Explicação intuitiva: a velocidade do conjunto depois do choque depende apenas da altura que ele sobe e da gravidade, não das massas.

Passo 4

Calcular v numericamente:
v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2\cdot 10\cdot 0,20}.
Fazendo as contas passo a passo:
2\cdot 10\cdot 0,20 = 4,
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v = \sqrt{4} = 2\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 5

Usar a conservação do momento para encontrar u:
Da equação do Passo 2,
u = \frac{M+m}{m}\,v.
Substituindo os valores (mostrando a soma das massas):
M+m = 23,84 + 0,160 = 24,00\\ \mathrm{kg}.
Agora
\frac{M+m}{m} = \frac{24,00}{0,160}.
Calcule a razão:
\frac{24,00}{0,160} = 150.
Portanto
u = 150\cdot v = 150\cdot 2 = 300\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 6

Verificação rápida de unidades e sentido físico:
  • v veio em \mathrm{m}/\mathrm{s}, a razão de massas é adimensional, então u tem unidade \mathrm{m}/\mathrm{s} corretamente.
  • O valor 300\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} é compatível com velocidades de projéteis, e corresponde à alternativa disponível.

Resposta

c) 300\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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