Ao estudar projéteis disparados por canhões, a Balística tem como interesse principal, obter o alcance máximo com disparo em solo horizontal. Para obter esse parâmetro, unem-se os saberes da Física ao vasto conhecimento experimental da Balística. Em geral, obtém-se o verdadeiro alcance máximo de um projétil inserindo fatores de correção ao alcance máximo obtido sem a presença do ar. Digamos que um projétil é lançado com velocidade máxima de
. O alcance máximo sem a presença do ar seria conseguido quando o ângulo de lançamento fosse
, cujos senos e cosseno são aproximadamente iguais a 0,7 . Considerando a aceleração da gravidade igual a
, determine o alcance máximo sem a presença do ar.
a) 14.220 m
b) 15.680 m
c) 16.760 m
d) 17.540 m
a) 14.220 m
b) 15.680 m
c) 16.760 m
d) 17.540 m
Passo 1
O enunciado pede o alcance máximo (sem resistência do ar) de um projétil lançado com velocidade máxima de
. As informações dadas são:
- velocidade inicial
(peguei este valor do enunciado); - aceleração da gravidade
(peguei este valor do enunciado); - o alcance máximo, em ausência de ar, ocorre para ângulo de lançamento
(diz o enunciado); - o enunciado também diz que
e são aproximadamente (vou usar essa aproximação quando apropriado).
O que se pede: calcular o alcance máximo sem presença do ar (valor numérico em metros) e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Vamos entender e deduzir a fórmula que vamos usar — explicação passo a passo e bem didática.
- Decomposição da velocidade inicial: um lançamento oblíquo tem componentes horizontal e vertical da velocidade inicial. Se
é o ângulo com a horizontal,
Aqui
é a velocidade horizontal inicial (constante, pois não há resistência do ar) e
é a velocidade vertical inicial (que sofre aceleração
).
- Tempo de voo
: o projétil parte do solo e retorna ao mesmo nível (solo horizontal), então a equação do movimento vertical é
Queremos o tempo
tal que
. Além da solução
, a outra solução é
Isso significa: o tempo total de voo é duas vezes o tempo que leva para subir até altura máxima.
- Alcance
: a distância horizontal percorrida é a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo de voo:
Agrupando os fatores,
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a forma clássica
Explicando as variáveis:
é a velocidade inicial (em
),
é a aceleração da gravidade (em
),
é o ângulo de lançamento. Essa fórmula dá o alcance horizontal quando o projétil começa e termina no mesmo nível.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula ao caso dado:
Para
vale
. Usando isso de forma exata,
Calculando:
Portanto, o alcance exato (usando
) seria
.
No entanto, o enunciado fornece aproximações para
e
iguais a
. Se usarmos essas aproximações na forma
, temos
logo
Assim
Calculando:
Portanto, usando as aproximações dadas no enunciado para seno e cosseno, o alcance aproximado é
.
Obs.: a diferença entre
(valor exato sem aproximação dos senos) e
vem da aproximação
em vez do valor mais preciso
. O enunciado explicitamente forneceu
, então faz sentido usar isso para comparar às alternativas.
Passo 4
Comparando com as alternativas fornecidas:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
O valor que obtivemos usando a aproximação do enunciado é
, que corresponde à alternativa (b).
Resposta
b)