Ao estudar projéteis disparados por canhões, a Balística tem como interesse principal, obter o alcance máximo com disparo em solo horizontal. Para obter esse parâmetro, unem-se os saberes da Física ao vasto conhecimento experimental da Balística. Em geral, obtém-se o verdadeiro alcance máximo de um projétil inserindo fatores de correção ao alcance máximo obtido sem a presença do ar. Digamos que um projétil é lançado com velocidade máxima de 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O alcance máximo sem a presença do ar seria conseguido quando o ângulo de lançamento fosse 45^{\circ}, cujos senos e cosseno são aproximadamente iguais a 0,7 . Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine o alcance máximo sem a presença do ar.
a) 14.220 m
b) 15.680 m
c) 16.760 m
d) 17.540 m

Passo 1

O enunciado pede o alcance máximo (sem resistência do ar) de um projétil lançado com velocidade máxima de 400\\ \mathrm{m/s}. As informações dadas são:
  • velocidade inicial v=400\\ \mathrm{m/s} (peguei este valor do enunciado);
  • aceleração da gravidade g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} (peguei este valor do enunciado);
  • o alcance máximo, em ausência de ar, ocorre para ângulo de lançamento \theta=45^\circ (diz o enunciado);
  • o enunciado também diz que \sin 45^\circ e \cos 45^\circ são aproximadamente 0{,}7 (vou usar essa aproximação quando apropriado).
O que se pede: calcular o alcance máximo sem presença do ar (valor numérico em metros) e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Vamos entender e deduzir a fórmula que vamos usar — explicação passo a passo e bem didática.
  1. Decomposição da velocidade inicial: um lançamento oblíquo tem componentes horizontal e vertical da velocidade inicial. Se \theta é o ângulo com a horizontal,
v_x = v\cos\theta,\qquad v_y = v\sin\theta.
Aqui v_x é a velocidade horizontal inicial (constante, pois não há resistência do ar) e v_y é a velocidade vertical inicial (que sofre aceleração -g).
  1. Tempo de voo T: o projétil parte do solo e retorna ao mesmo nível (solo horizontal), então a equação do movimento vertical é
y(t)=v_y t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Queremos o tempo t>0 tal que y(t)=0. Além da solução t=0, a outra solução é
t = \frac{2 v_y}{g} = \frac{2 v \sin\theta}{g}.
Isso significa: o tempo total de voo é duas vezes o tempo que leva para subir até altura máxima.
  1. Alcance R: a distância horizontal percorrida é a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo de voo:
R = v_x \cdot T = (v\cos\theta)\left(\frac{2 v\sin\theta}{g}\right).
Agrupando os fatores,
R = \frac{2 v^2 \sin\theta\cos\theta}{g}.
Usando a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, obtemos a forma clássica
R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}.
Explicando as variáveis: v é a velocidade inicial (em \mathrm{m/s}), g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}), \theta é o ângulo de lançamento. Essa fórmula dá o alcance horizontal quando o projétil começa e termina no mesmo nível.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula ao caso dado:
Para \theta=45^\circ vale \sin(2\theta)=\sin(90^\circ)=1. Usando isso de forma exata,
R = \frac{v^2}{g} = \frac{(400)^2}{10}.
Calculando:
(400)^2 = 160000, \qquad \frac{160000}{10}=16000.
Portanto, o alcance exato (usando \sin 90^\circ=1) seria 16000\\ \mathrm{m}.
No entanto, o enunciado fornece aproximações para \sin 45^\circ e \cos 45^\circ iguais a 0{,}7. Se usarmos essas aproximações na forma R=\dfrac{2v^2\sin\theta\cos\theta}{g}, temos
\sin\theta\cos\theta \approx 0{,}7\times0{,}7=0{,}49,
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2\sin\theta\cos\theta \approx 2\times0{,}49=0{,}98.
Assim
R \approx \frac{v^2\cdot 0{,}98}{g} = \frac{(400)^2\cdot 0{,}98}{10}.
Calculando:
(400)^2=160000,\qquad 160000\times0{,}98=156800, \qquad \frac{156800}{10}=15680.
Portanto, usando as aproximações dadas no enunciado para seno e cosseno, o alcance aproximado é 15680\\ \mathrm{m}.
Obs.: a diferença entre 16000\\ \mathrm{m} (valor exato sem aproximação dos senos) e 15680\\ \mathrm{m} vem da aproximação \sin45^\circ\approx0{,}7 em vez do valor mais preciso 0{,}7071\ldots. O enunciado explicitamente forneceu 0{,}7, então faz sentido usar isso para comparar às alternativas.

Passo 4

Comparando com as alternativas fornecidas:
a) 14220\\ \mathrm{m}
b) 15680\\ \mathrm{m}
c) 16760\\ \mathrm{m}
d) 17540\\ \mathrm{m}
O valor que obtivemos usando a aproximação do enunciado é 15680\\ \mathrm{m}, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) 15.680\\ \mathrm{m}

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