1. É possível colocar um satélite em órbita em torno da Terra de modo que ele permaneça fixo em uma posição localizada sobre o equador. Calcule a altitude necessária para esse satélite. A massa da Terra é 5,98 times 10^24 kg; seu raio é 6,37 times 10^6 m. (Esta órbita é chamada Órbita Geoestacionária Clarke, em homenagem a Arthur C. Clarke, quem primeiro propôs a idéia, em 1945. O primeiro satélite, Syncom II, foi lançado em julho de 1963.)

Passo 1

O enunciado pede a altura de um satélite geoestacionário, ou seja, um satélite que orbita de modo que seu período seja igual ao período de rotação da Terra ( T=24;h). O conteúdo envolvido é a força gravitacional como força centrípeta em órbita circular. Vamos usar a lei da gravitação de Newton e a relação entre velocidade angular e período para determinar o raio da órbita e depois subtrair o raio da Terra para achar a altitude.

Passo 2

Em órbita circular, a força gravitacional fornece a força centrípeta:
G M mr^2 ;=; m,omega^2,r
onde M é a massa da Terra, r é o raio da órbita (distância do centro da Terra ao satélite), omega é a velocidade angular e G é a constante gravitacional.

Passo 3

Expressamos omega em função do período T:
omega = 2piT
Substituindo em omega^2 e rearranjando a equação do passo anterior, obtemos
r^3 = G,Momega^2 = G,M,T^24pi^2

Passo 4

Agora substituímos os valores conhecidos:
G = 6,67times10^-11;m^3,kg^-1,s^-2, M = 5,98times10^24;kg, T = 24times3600 = 86400;s
Logo,
r^3 = (6,67times10^-11)(5,98times10^24)(86400)^24pi^2 approx 7,54times10^22;m^3,
r = l(7,54times10^22r)^1/3 approx 4,22times10^7;m

Passo 5

A altitude h acima da superfície da Terra é
h = r - Roplus,
onde Roplus=6,37times10^6;m. Assim,
h approx 4,22times10^7 - 6,37times10^6 = 3,58times10^7;m

Resposta

A altitude necessária é aproximadamente
h approx 3,58times10^7;m

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