Três blocos (3 \mathrm{~kg}, 5 \mathrm{~kg}, 7 \mathrm{~kg}) estão alinhados nas posições x=0, x=2, x=6. Determine a posição do centro de massa.

Passo 1

O enunciado dá três blocos localizados em posições na reta x e pede a posição do centro de massa do sistema. Dados fornecidos:
  • Massa do bloco 1: m_1=3\\ \mathrm{kg} na posição x_1=0.
  • Massa do bloco 2: m_2=5\\ \mathrm{kg} na posição x_2=2.
  • Massa do bloco 3: m_3=7\\ \mathrm{kg} na posição x_3=6.
O que se pede: determinar a posição do centro de massa x_{\mathrm{cm}} (na mesma unidade usada para as posições x).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Para um conjunto discreto de partículas (ou blocos) ao longo de uma reta, o centro de massa é a média ponderada das posições pelas massas. A fórmula é
x_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum_{i} m_i x_i}{\sum_{i} m_i}.
  • Aqui:
    • m_i é a massa do i-ésimo bloco;
    • x_i é a posição (coordenada) do i-ésimo bloco;
    • \sum_i m_i x_i é a soma dos “momentos” (cada massa multiplicada pela sua posição);
    • \sum_i m_i é a massa total do sistema.
      Em palavras: primeiro multiplica-se cada massa pela sua posição (isso dá o momento de cada massa), soma-se esses momentos, e divide-se pela massa total. Isso dá a posição do “ponto de equilíbrio” do sistema.

Passo 3

Calcular a massa total M:
M=\sum_i m_i = m_1+m_2+m_3 = 3+5+7.
Efetuando a soma:
M=15\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular os momentos individuais m_i x_i:
  • Para o bloco 1: m_1 x_1 = 3\cdot 0 = 0.
  • Para o bloco 2: m_2 x_2 = 5\cdot 2 = 10.
  • Para o bloco 3: m_3 x_3 = 7\cdot 6 = 42.

Passo 5

Somar os momentos para obter o numerador da fórmula:
\sum_i m_i x_i = 0 + 10 + 42 = 52.
Portanto os dados para aplicar a fórmula são: soma dos momentos =52 e massa total =15.

Passo 6

Dica prática para a prova: faça sempre em três passos curtos — (i) calcule cada m_i x_i, (ii) some os momentos para obter o numerador, (iii) some as massas para obter o denominador e divida. Verifique a plausibilidade: como a maior massa ( 7\\ \mathrm{kg}) está em x=6, o centro de massa deve ficar deslocado para a direita do centro geométrico; portanto esperar um x_{\mathrm{cm}} maior que 3 faz sentido.

Resposta

x_{\mathrm{cm}}=\frac{52}{15}\approx3,466\ldots\\ \text{(unidades de }x\text{)}

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