Uma balsa é feita na forma de uma caixa retangular de 8 m por 10 m por 4 m de profundidade. A balsa pesa 2.500 Kg .
a) Qual será a profundidade dessa balsa quando colocada em água doce que pesa 62,4 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3} ?
b) Que carga essa balsa pode carregar sem afundar?
c) Qual é a força total exercida pela água no fundo da balsa quando carregada?
d) Supondo que a carga seja uniformemente distribuída, a parte inferior do radier tenderá a inchar no centro, saliente ou permanecerá plana?

Passo 1

O enunciado descreve uma balsa em forma de caixa retangular de base 8,m por 10,m e profundidade máxima 4,m, com massa própria m_b=2500,kg. Ela flutua em água doce, cuja massa específica é \rho=1000,kg/ m^{3} (equivalente a peso específico \gamma=\rho g, com g=9,8,m/ s^{2}). Vamos aplicar
– Princípio de Arquimedes para achar o calado (profundidade imersa),
– equilíbrio de forças para a carga máxima,
– cálculo de pressão hidrostática no fundo,
– e raciocinar sobre o comportamento da placa inferior (radier) sob carregamento uniforme.

Passo 2

Para achar o calado d usamos o Princípio de Arquimedes: o peso da balsa é igual ao peso do volume de água deslocado.
Peso da balsa:
W_b = m_b\,g = 2500 \times 9,8 = 2{,}45\times10^4\\ \mathrm{N}.
Volume de água deslocado: V = A\,d, onde a área da base é
A = 8 \times 10 = 80\\ \mathrm{m}^2.
Peso da água deslocada:
W_{\rm disp} = \rho\,g\,V = 1000 \times 9,8 \times (80\,d) = 7{,}84\times10^5\,d\\ \mathrm{N}.
Igualando W_b = W_{\rm disp}:
2{,}45\times10^4 = 7{,}84\times10^5\,d \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{2{,}45\times10^4}{7{,}84\times10^5} = 0{,}03125\\ \mathrm{m}.

Passo 3

A carga máxima m_c para que a balsa apenas atinja os 4 m de profundidade total vem de: peso total (balsa + carga) = peso da água deslocada no volume máximo.
Volume máximo deslocado:
V_{\max} = A \times 4 = 80 \times 4 = 320\\ \mathrm{m}^3.
Peso da água deslocada:
W_{\max} = \rho\,g\,V_{\max} = 1000 \times 9,8 \times 320 = 3{,}136\times10^6\\ \mathrm{N}.
Logo a carga máxima satisfaz
(m_b + m_c)\,g = W_{\max} \quad\Longrightarrow\quad m_c = \frac{W_{\max}}{g} - m_b = \frac{3{,}136\times10^6}{9,8} - 2500 = 320000 - 2500 = 317500\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Quando totalmente carregada e com calado 4,m, a pressão hidrostática no fundo é
p = \rho\,g\,h = 1000 \times 9,8 \times 4 = 3{,}92\times10^4\\ \mathrm{Pa}.
A força total no fundo é essa pressão vezes a área:
F = p\,A = 3{,}92\times10^4 \times 80 = 3{,}136\times10^6\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Como a pressão da água no fundo é uniforme (o fundo está sempre a 4,m abaixo da superfície) e a carga na balsa está distribuída uniformemente, não há variação de carregamento ao longo da base que gere momentos de flexão. Logo o radier permanecerá plano.

Resposta

a) d=0{,}03125,m (31,25 mm)
b) m_c=317500,kg
c) F=3{,}136\times10^6,N
d) Permanecerá plana.

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