Um cubo de ferro com 3 cm de aresta é colocado em um prato de mercúrio.
a) Quanto do cubo está imerso no mercúrio?
b) Se a água for derramada sobre o mercúrio a uma profundidade de 4 cm , qual será a profundidade do ferro no mercúrio?

Passo 1

O enunciado diz que um cubo de ferro de aresta 3 cm flutua sobre mercúrio. Na parte (a) queremos saber a altura x imersa no mercúrio sozinho; na (b), adiciona-se água cobrindo o cubo até 4 cm de profundidade no mercúrio, e calculamos novamente a imersão no mercúrio. Aplicaremos o princípio de Arquimedes: o empuxo total iguala o peso do cubo. Usamos as densidades típicas \rho_{\text{Fe}}=7{,}8 g/c m^{3}, \rho_{\text{Hg}}=13{,}6 g/c m^{3} e \rho_{\text{água}}=1{,}0á g/c m^{3}.

Passo 2

Para (a), o único empuxo vem do mercúrio. O peso do cubo é
P = \rho_{\text{Fe}}\;V_{\text{cube}}\,g
com V_{\text{cube}}=3\cdot A, onde A é a área da face. O empuxo é
E = \rho_{\text{Hg}}\;(x\cdot A)\,g.
Igualando E=P e cancelando A\,g, vem
\rho_{\text{Hg}}\,x = \rho_{\text{Fe}}\cdot 3 \;\;\Longrightarrow\;\; x = 3\,\frac{\rho_{\text{Fe}}}{\rho_{\text{Hg}}} = 3\,\frac{7{,}8}{13{,}6}\approx 1{,}72\text{ cm}.

Passo 3

Para (b), agora o empuxo total é soma do empuxo do mercúrio mais o da água sobre a parte emergida. Se x é a imersão no mercúrio, a parte do cubo acima do mercúrio é 3-x e fica submersa em água (já que há pelo menos 4 cm de água). Então
E = \rho_{\text{Hg}}\,(xA)\,g + \rho_{\text{água}}\bigl((3-x)A\bigr)\,gá
deve igualar o peso P=\rho_{\text{Fe}}\,(3A)\,g. Cancelando A\,g:
\rho_{\text{Hg}}\,x + \rho_{\text{água}}\,(3 - x) = \rho_{\text{Fe}}\cdot 3.á
Reorganizando:
x\,(\rho_{\text{Hg}}-\rho_{\text{água}}) = 3\,(\rho_{\text{Fe}}-\rho_{\text{água}}) \;\;\Longrightarrow\;\; x = 3\,\frac{\rho_{\text{Fe}}-\rho_{\text{água}}} {\rho_{\text{Hg}}-\rho_{\text{água}}} = 3\,\frac{7{,}8 - 1{,}0}{13{,}6 - 1{,}0} \approx 1{,}62\text{ cm}.áááá

Resposta

(a) 1{,}72\text{ cm}
(b) 1{,}62\text{ cm}

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