(Bussab e Morettin, 2023) Sabe-se que 20 \% das peças de um lote são defeituosas. Sorteiam-se oito peças, com reposição, e calcula-se a proporção \hat{p} de peças defeituosas na amostra.
a) Construa a distribuição exata de \hat{p} (use a tábua da distribuição binomial).
b) Construa a aproximação normal à binomial.
c) Você pensa que a segunda distribuição é uma boa aproximação da primeira?
d) Já sabemos que, para dado p fixo, a aproximação melhora conforme n aumenta. Agora, se n for fixo, para qual valor de p a aproximação é melhor?

Passo 1

O enunciado diz que tiramos, com reposição, n=8 peças de um lote em que a proporção verdadeira de defeituosas é p=0,2. Definimos a estatística \hat p = X/n, em que X é o número de peças defeituosas na amostra. Como cada peça é defeituosa com probabilidade p independentemente, temos X\sim \mathrm{Bin}(8,0,2). Vamos:
  • (a) escrever a distribuição exata de \hat p;
  • (b) obter a aproximação normal àquela binomial;
  • (c) discutir se a aproximação é boa;
  • (d) dizer para que valor de p, com n fixo, a aproximação é melhor.

Passo 2

A distribuição exata de \hat p é obtida de
\Pr(\hat p = k/8) = \Pr(X=k) = \binom{8}{k}(0,2)^k(0,8)^{8-k}, \quad k=0,1,\dots,8.
Em forma de tabela, para k=0,\dots,8 e p_k=\Pr(\hat p=k/8):
\begin{array}{c|ccccccccc} k & 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\hline k/8 &0 &0,125 &0,25 &0,375 &0,5 &0,625 &0,75 &0,875 &1\\\ p_k &0,1678 &0,3355 &0,2932 &0,1468 &0,0459 &0,00918 &0,00115 &8{,}19\cdot10^{-5}&2{,}56\cdot10^{-6} \end{array}

Passo 3

Para aproximar por normal usamos que, em geral, \hat p\approx N\bigl(p,\;p(1-p)/n\bigr). Aqui
\mu = p =0,2, \qquad \sigma^2 = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{0,2\cdot0,8}{8} =0,02,
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\hat p \approx N(0,2,\;0,02).
Se quisermos probabilidades discretas, poderíamos aplicar correção de continuidade.

Passo 4

A amostra é pequena n=8 e p=0,2 gera uma binomial assimétrica (mais concentrada em 0, 1 e 2 defeitos). A normal é simétrica e contínua, de modo que as caudas e os pontos discretos não coincidem bem: a aproximação tende a superestimar probabilidades no meio e subestimar nos extremos. Portanto, para estes valores, a aproximação não é muito boa.

Passo 5

Mantendo n fixo, a binomial fica mais simétrica e “mais parecida com uma normal” quando p está mais próximo de 0,5. Assim, a melhor aproximação ocorre para p=0,5.

Resposta

(a) \displaystyle \Pr(\hat p = k/8)=\binom{8}{k}(0,2)^k(0,8)^{8-k},\;k=0,\dots,8, conforme tabela do passo 2.
(b) \displaystyle \hat p\approx N\bigl(0,2,\;0,02\bigr).
(c) Não: para n=8 e p=0,2 a binomial é assimétrica e discreta, e a normal simétrica e contínua não reproduz bem as caudas.
(d) Para n fixo, a aproximação binomial→normal é melhor quando p=0,5.

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