(Bussab e Morettin, 2023) Sabe-se que
das peças de um lote são defeituosas. Sorteiam-se oito peças, com reposição, e calcula-se a proporção
de peças defeituosas na amostra.
a) Construa a distribuição exata de
(use a tábua da distribuição binomial).
b) Construa a aproximação normal à binomial.
c) Você pensa que a segunda distribuição é uma boa aproximação da primeira?
d) Já sabemos que, para dado p fixo, a aproximação melhora conforme n aumenta. Agora, se n for fixo, para qual valor de p a aproximação é melhor?
a) Construa a distribuição exata de
b) Construa a aproximação normal à binomial.
c) Você pensa que a segunda distribuição é uma boa aproximação da primeira?
d) Já sabemos que, para dado p fixo, a aproximação melhora conforme n aumenta. Agora, se n for fixo, para qual valor de p a aproximação é melhor?
Passo 1
O enunciado diz que tiramos, com reposição,
peças de um lote em que a proporção verdadeira de defeituosas é
. Definimos a estatística
, em que
é o número de peças defeituosas na amostra. Como cada peça é defeituosa com probabilidade
independentemente, temos
. Vamos:
- (a) escrever a distribuição exata de
; - (b) obter a aproximação normal àquela binomial;
- (c) discutir se a aproximação é boa;
- (d) dizer para que valor de
, com fixo, a aproximação é melhor.
Passo 2
A distribuição exata de
é obtida de
Em forma de tabela, para
e
:
Passo 3
Para aproximar por normal usamos que, em geral,
. Aqui
logo
Se quisermos probabilidades discretas, poderíamos aplicar correção de continuidade.
Passo 4
A amostra é pequena
e
gera uma binomial assimétrica (mais concentrada em 0, 1 e 2 defeitos). A normal é simétrica e contínua, de modo que as caudas e os pontos discretos não coincidem bem: a aproximação tende a superestimar probabilidades no meio e subestimar nos extremos. Portanto, para estes valores, a aproximação não é muito boa.
Passo 5
Mantendo
fixo, a binomial fica mais simétrica e “mais parecida com uma normal” quando
está mais próximo de
. Assim, a melhor aproximação ocorre para
.
Resposta
(a)
, conforme tabela do passo 2.
(b) .
(c) Não: para e
a binomial é assimétrica e discreta, e a normal simétrica e contínua não reproduz bem as caudas.
(d) Para fixo, a aproximação binomial→normal é melhor quando
.
(b)
(c) Não: para
(d) Para