Um banco pretende aumentar a eficiência de seus caixas. Oferece um prêmio de $150,00 para cada cliente atendido além de 42 clientes por dia. O banco tem um ganho operacional de 100,00 para cada cliente atendido além de 41. As probabilidades de atendimento estão abaixo. Qual a esperança de ganho do banco se este novo sistema for implantado?
No Clientes Probabilidade
Até 41 0,88
42 0,06
43 0,04
44 0,006
45 0,004

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória N = nº de clientes atendidos por dia, com distribuição dada. O conteúdo é cálculo de esperança de variável discreta aplicando uma função de ganho líquido do banco, que incorpora ganho operacional de R 100 por cliente além de 41 e custo de prêmio de Réê150 por cliente além de 42.

Passo 2

Para cada valor de N, montamos a função de ganho líquido g(N). Se N<=41, não há ganho nem prêmio, logo g(N)=0. Se N=42, só vale o ganho operacional: g(42)=100,(42-41)=100. Se N>=43, há ganho operacional e prêmio, então

Passo 3

g(N)=100,(N-41)-150,(N-42)

Passo 4

Agora listamos os valores de g(N) para cada caso e multiplicamos pela probabilidade correspondente:

Passo 5

  • Para “Até 41”: g(N)=0, probabilidade = 0,88, contribuição = 0times0,88=0.

Passo 6

  • Para 42: g(42)=100, probabilidade = 0,06, contribuição = 100times0,06=6.

Passo 7

  • Para 43: g(43)=100,(43-41)-150,(43-42)=200-150=50, probabilidade = 0,04, contribuição = 50times0,04=2.

Passo 8

  • Para 44: g(44)=100,(44-41)-150,(44-42)=300-300=0, probabilidade = 0,006, contribuição = 0times0,006=0.

Passo 9

  • Para 45: g(45)=100,(45-41)-150,(45-42)=400-450=-50, probabilidade = 0,004, contribuição = -50times0,004=-0,2.

Passo 10

Finalmente, a esperança do ganho é a soma dessas contribuições:

Passo 11

E[g(N)] = 0 + 6 + 2 + 0 - 0,2 = 7,8

Resposta

A esperança de ganho diário do banco é R$ 7,80.

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