O departamento de energia coloca projetos em concorrência e, geralmente, estima qual seria um valor razoável de um lance. Chame essa estimativa de b. Sabendo que o departamento de energia determinou a função de densidade do lance vencedor, abaixo, determine f(k) e a utilize para determinar a probabilidade de que o lance vencedor seja menor do que a estimativa preliminar b.
f(k)= 518 b, & b2 <= k <= 2 b 0, & cc

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre funções de densidade de probabilidade, que fazem parte do estudo de probabilidade e estatística. A questão fala sobre uma estimativa de lance, chamada de b , e nos dá a função de densidade do lance vencedor. Nosso objetivo é determinar f(k) e calcular a probabilidade de que o lance vencedor seja menor que b . Para isso, vamos precisar entender como funciona a função de densidade e como calcular probabilidades usando ela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de densidade dada:
f(k) = 518 b, & b2 <= k <= 2b 0, & caso contrário á
Isso significa que o lance vencedor k pode variar entre b2 e 2b , e fora desse intervalo a probabilidade é zero. A função de densidade nos diz como a probabilidade está distribuída nesse intervalo.

Passo 3

O próximo passo é verificar se f(k) é uma função de densidade válida. Para isso, a integral de f(k) em todo o seu domínio deve ser igual a 1:
integral-infty^infty f(k) , dk = 1
Mas como f(k) é zero fora de b2 a 2b , podemos calcular:
integralb2^2b 518 b , dk = 518 b times (2b - b2) = 518 b times 3b2 = 15b36b = 1536 = 512 neq 1
Ops! Parece que a função de densidade não está normalizada. Podemos ajustar multiplicando por uma constante para que a integral seja 1.

Passo 4

Vamos encontrar a constante C tal que:
C times 518 b times 3b2 = 1 C times 1536 = 1 C = 3615 = 125
Então, a função de densidade correta é:
f(k) = 125 times 518 b = 1218 b = 23 b, & b2 <= k <= 2b 0, & caso contrário á

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de que o lance vencedor seja menor que b . Isso significa que queremos P(k < b) .
Como k varia de b2 a 2b , e b está dentro desse intervalo, a probabilidade será a integral de f(k) de b2 a b :
P(k < b) = integralb2^b 23 b , dk = 23 b times (b - b2) = 23 b times b2 = 23 times 12 = 13

Resposta

A probabilidade de que o lance vencedor seja menor que b é de 13 ou aproximadamente 33,33%.

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