Um par de dados é jogado. Seja X uma v.a. representando o número máximo das faces que aparecem. Seja Y uma v.a. representando a soma dos números das faces que aparecem.
Determine a distribuição de probabilidade, esperança, variância e distribuição acumulada para cada uma das variáveis.

Passo 1

O enunciado descreve dois lançamentos independentes de um dado justo. Definimos as variáveis aleatórias:
X=maxD1,D2, o maior valor obtido em dois dados.
Y=D1+D2, a soma dos valores.
Queremos para cada uma:
bul<=t A função massa de probabilidade (pmf).
bul<=t A esperança e a variância.
bul<=t A função de distribuição acumulada (CDF).

Passo 2

Obtemos primeiro a pmf de X. Note que
P(X<= k)=P(D1<= k),P(D2<= k)=l(k6r)^2, k=1,2,dots,6
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P(X=k)=P(X<= k)-P(X<= k-1) =l(k6r)^2-l(k-16r)^2 =2k-136, k=1,dots,6

Passo 3

Calculamos a esperança e a variância de .

Passo 4

A CDF de X já vem de acima:
FX(k)=P(X<= k)= 0,&k<1, l(tfrack6r)^2,&k=1,2,dots,6, 1,&k>=7

Passo 5

Agora a pmf de Y=D1+D2. É bem conhecida: para k=2,3,dots,12,
P(Y=k)= k-136,&2<= k<=7, 13-k36,&8<= k<=12, 0,&caso contrário á

Passo 6

Esperança e variância de . Como é soma de dois dados i.i.d. com e ,

Passo 7

A CDF de Y é
FY(k)=P(Y<= k)= 0,&k<2, sumj=2^k(j-1)36 =k(k-1)72,&2<= k<=7, 1-sumj=k+1^12(13-j)36 =1-(12-k)(13-k)72,&7<k<=12, 1,&k>12

Resposta

X:
Y:

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