Um banco tem os seguintes dados sobre o gênero e o estado civil de 200 clientes.
Homens Mulheres
Solteiros 20 30
Casados 100 50
a Qual é a probabilidade de encontrar uma cliente mulher?
b Qual é a probabilidade de encontrar um cliente homem casado?
c Se um cliente for mulher, qual é a probabilidade de que seja solteira?
D O estado civil é independente do gênero? Explique utilizando probabilidades.

Passo 1

O enunciado apresenta uma tabela com o gênero (homem ou mulher) e o estado civil (solteiro ou casado) de 200 clientes. Vamos usar conceitos básicos de probabilidade:
– Probabilidade de um evento E: \displaystyle P(E)=\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número total de casos}}úáú.
– Probabilidade condicional de A dado B: \displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
– Dois eventos A e B são independentes se e somente se \displaystyle P(A\cap B)=P(A)\,P(B).

Passo 2

Vamos tabular os totais marginais a partir dos dados:
– Total de homens: 20+100=120.
– Total de mulheres: 30+50=80.
– Total de solteiros: 20+30=50.
– Total de casados: 100+50=150.
O total geral confirma 120+80=200 e 50+150=200.

Passo 3

a) Probabilidade de escolher uma cliente mulher:
P(\text{mulher})=\frac{80}{200}=\frac{2}{5}=0,4.
b) Probabilidade de escolher um cliente homem casado:
P(\text{homem e casado})=\frac{100}{200}=\frac{1}{2}=0,5.
c) Probabilidade de ser solteira, dado que o cliente é mulher:
P(\text{solteira}\mid \text{mulher}) =\frac{P(\text{solteira}\cap \text{mulher})}{P(\text{mulher})} =\frac{30/200}{80/200} =\frac{30}{80} =\frac{3}{8}=0,375.

Passo 4

Testando independência entre “ser mulher” e “ser solteiro”:
P(\text{solteira}\cap \text{mulher})=\frac{30}{200}=0,15,
P(\text{solteira})\,P(\text{mulher}) =\frac{50}{200}\times\frac{80}{200} =0,25\times0,4 =0,10.
Como 0,15\neq0,10, temos
P(\text{solteira}\cap \text{mulher})\neq P(\text{solteira})\,P(\text{mulher}),
logo “ser mulher” e “ser solteiro” não são independentes.

Resposta

a) P(\text{mulher})=0,4.
b) P(\text{homem e casado})=0,5.
c) P(\text{solteira}\mid \text{mulher})=0,375.
d) Não são independentes, pois P(\text{solteira}\cap \text{mulher})\neq P(\text{solteira})\,P(\text{mulher}).

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