4 As pontuações em um recente exame de estatística de âmbito nacional foram normalmente distribuídas, com uma média de 80 e um desvio padrăo de 6 .
a. Qual é a probabilidade de que um exame aleatoriamente selecionado tenha uma pontuação de pelo menos 71?
b. Qual porcentagem de exames terá pontuações entre 89 e 92 ?
C. Se houver 334 exames com pontuações de pelo menos 89 , quantos estudantes fizeram o exame?

Passo 1

O exame gera pontuações X que são normalmente distribuídas com média \mu=80 e desvio padrão \sigma=6. Precisamos usar a padronização
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}
para calcular probabilidades usando a Tabela da Normal Padrão.

Passo 2

Para (a), queremos
P(X\ge71).
Padronizando,
Z = \frac{71-80}{6} = -1{,}5.
Logo,
P(X\ge71) = P\bigl(Z\ge-1{,}5\bigr) = P\bigl(Z\le1{,}5\bigr) = \Phi(1{,}5)\approx0{,}9332.

Passo 3

Para (b), queremos
P(89\le X\le92).
Padronizando os dois limites,
Z_1 = \frac{89-80}{6} = 1{,}5, \quad Z_2 = \frac{92-80}{6} = 2{,}0.
Então
P(89\le X\le92) = \Phi(2{,}0) - \Phi(1{,}5) \approx 0{,}9772 - 0{,}9332 = 0{,}0440,
ou seja cerca de 4{,}40\%.

Passo 4

Para (c), sabemos que 334 exames ficaram com X\ge89. A proporção teórica é
P(X\ge89) = P\bigl(Z\ge1{,}5\bigr) = 1 - \Phi(1{,}5) \approx 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668.
Se N é o total de estudantes, então
N \times 0{,}0668 = 334 \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{334}{0{,}0668}\approx5000.

Resposta

a. \displaystyle P(X\ge71)\approx0{,}9332.
b. \displaystyle P(89\le X\le92)\approx0{,}0440 (ou 4{,}40\%).
c. N\approx5000 estudantes.

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