Um vendedor entra em contato com oito clientes em potencial por dia. A partir das experiências anteriores, sabemos que a probabilidade de um cliente em potencial fazer uma compra é de 0,10 .
a. Qual é a probabilidade de o vendedor fazer exatamente duas vendas em um dia?
b. Qual é a probabilidade de o vendedor fazer pelo menos duas vendas em um dia?
C. Qual o coeficiente de variação da quantidades vendidas por dia em 30 dias? Aproveite para enunciar o TLC.

Passo 1

O enunciado diz que, em cada dia, o número de vendas X do vendedor é o número de sucessos em n=8 tentativas independentes, com probabilidade de sucesso em cada tentativa p=0,10. Assim
X\sim \mathrm{Binomial}(n=8,\;p=0,10).
Precisamos de:
– (a) \mathbb{P}(X=2).
– (b) \mathbb{P}(X\ge2).
– (c) o coeficiente de variação da quantidade vendida por dia em 30 dias, aproveitando para enunciar o Teorema do Limite Central.

Passo 2

Para exatamente duas vendas em um dia usamos a fórmula da binomial:
\mathbb{P}(X=2) =\binom{8}{2}(0,10)^{2}(0,90)^{6}.

Passo 3

Para pelo menos duas vendas em um dia calculamos
\mathbb{P}(X\ge2) =1-\bigl[\mathbb{P}(X=0)+\mathbb{P}(X=1)\bigr] =1-\Bigl[\binom{8}{0}(0,10)^{0}(0,90)^{8}+\binom{8}{1}(0,10)^{1}(0,90)^{7}\Bigr].

Passo 4

Para 30 dias, sejam X_{1},\dots,X_{30} independentes com mesma distribuição de X. Definimos a média amostral
\overline{X} =\frac{1}{30}\sum_{i=1}^{30}X_{i}.
Enunciado do Teorema do Limite Central (TLC):
\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{30}} \;\xrightarrow[d]{\;} N(0,1),
onde \mu=E(X) e \sigma^{2}=\mathrm{Var}(X) são finitos.
Aqui
\mu=8\cdot0,10=0,8, \qquad \sigma^{2}=8\cdot0,10\cdot0,90=0,72.
Logo
\mathrm{Var}(\overline{X}) =\frac{0,72}{30}, \quad \mathrm{sd}(\overline{X}) =\sqrt{\frac{0,72}{30}}.
O coeficiente de variação de \overline{X} é
\mathrm{CV} =\frac{\mathrm{sd}(\overline{X})}{E(\overline{X})} =\frac{\sqrt{0,72/30}}{0,8} \approx0,194.

Resposta

(a) \displaystyle \binom{8}{2}(0,10)^{2}(0,90)^{6}\approx0,1488.
(b) \displaystyle 1-\Bigl[(0,90)^{8}+8\cdot0,10\cdot(0,90)^{7}\Bigr]\approx0,1869.
(c) \mathrm{CV}\approx0,194.

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