Perguntou-se a 40 compradores se eles preferiam que o peso de uma lata de sopa fosse de 170 gramas, 230 gramas ou 284 gramas. Observe a seguir as respostas apresentadas.
170 170 170 284 230 230 230 284 170 170
284 284 230 230 170 170 170 230 170 170
230 230 230 284 230 230 170 284 230 170
170 230 230 230 284 284 230 284 230 170
a. Construa uma distribuição de frequências absolutas e represente graficamente a distribuição de frequências absolutas com diagrama de barras…
b Calcule o coeficiente de variação.
c Quanto vale a mediana?
D Justifique por que a distribuição obedece o Teorema de Tchebichev para 2 desvio padrão? Aproveite para enunciar este Teorema.

Passo 1

O enunciado apresenta n=40 compradores que escolheram entre latas de sopa com pesos de 170 g, 230 g ou 284 g. Precisamos:
  1. Construir a distribuição de frequências absolutas e o diagrama de barras.
  2. Calcular o coeficiente de variação.
  3. Determinar a mediana.
  4. Enunciar o Teorema de Tchebychev para k=2 e mostrar que a distribuição o obedece.

Passo 2

Contagem das escolhas:
Peso (g) | Frequência absoluta
—|--- 170 | 14 230 | 17 284 | 9
Diagrama de barras (cada “*” =1 comprador):
170: ************** (14)
230: ***************** (17)
284: ********* (9)

Passo 3

Cálculo da média \bar x, variância populacional \sigma^2 e coeficiente de variação CV:
\bar x = \frac{14\cdot170 + 17\cdot230 + 9\cdot284}{40} = \frac{8846}{40} = 221{,}15\text{ g}
\sigma^2 = \frac{1}{40}\Bigl[14(170-221{,}15)^2 + 17(230-221{,}15)^2 + 9(284-221{,}15)^2\Bigr] \approx 1837{,}72 \quad\Longrightarrow\quad \sigma \approx 42{,}87\text{ g}
CV = \frac{\sigma}{\bar x}\times100\% \approx \frac{42{,}87}{221{,}15}\times100\% \approx 19{,}4\%

Passo 4

Como n=40 é par, a mediana é a média entre a 20.ª e a 21.ª observações ordenadas.
Cumulativamente temos 14 observações em 170 g e até 230 g alcançamos 14+17=31.
Logo, tanto a 20.ª como a 21.ª cai em 230 g, isto é,
\text{Mediana} = 230\text{ g}.

Passo 5

Enunciado do Teorema de Tchebychev: para qualquer distribuição e para k>1, pelo menos
1 - \frac{1}{k^2}
das observações estão dentro de k desvios-padrão da média. Para k=2, isso dá 1 - 1/4 = 75\%.
No nosso caso \bar x = 221{,}15 e \sigma = 42{,}87, o intervalo
[\bar x - 2\sigma,\;\bar x + 2\sigma] = [221{,}15 - 85{,}74,\;221{,}15 + 85{,}74] = [135{,}41,\;306{,}89]
contém todos os três valores 170, 230 e 284. Assim 100\%\ge75\%, logo a distribuição obedece ao teorema para k=2.

Resposta

(a) Frequências absolutas: 170 g → 14, 230 g → 17, 284 g → 9. Diagrama de barras conforme acima.
(b) CV\approx19{,}4\%.
(c) Mediana = 230 g.
(d) Pelo Teorema de Tchebychev, ao menos 75\% dos dados estão em [\bar x\pm2\sigma]; aqui 100\% está, logo obedece.

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