Dois adversários A e B disputam uma série de 5 partidas de um determinado jogo. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6 e não há empate.
a) Qual a probabilidade de A ganhar a série?
b) Sabendo-se que B ganhou 1 partida, qual a probabilidade de A ganhar a série?
c) Qual o número esperado de vitórias de A, sabendo-se que A ganhou a série?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois jogadores, A e B, que vão disputar uma série de 5 partidas de um jogo. A probabilidade de A ganhar uma única partida é 0,6, e não há empates, ou seja, se A não ganha, B ganha automaticamente. Vamos usar conceitos de probabilidade e variáveis aleatórias para resolver as três partes desse exercício.

Passo 2

Parte a) Qual a probabilidade de A ganhar a série?
Primeiro, precisamos entender o que significa “ganhar a série”. Como são 5 partidas, para A ganhar a série, ele precisa vencer pelo menos 3 partidas. Vamos calcular essa probabilidade usando a distribuição binomial, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, com a mesma probabilidade de sucesso em cada tentativa.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • n = 5 (número total de partidas)
  • k é o número de vitórias que queremos
  • p = 0,6 (probabilidade de A ganhar uma partida)
Vamos calcular para k = 3, 4, 5 e somar essas probabilidades.

Passo 3

Vamos calcular cada caso:
  1. A ganha exatamente 3 partidas:
P(3) = binom53 (0,6)^3 (0,4)^2 = 10 times 0,216 times 0,16 = 0,3456
  1. A ganha exatamente 4 partidas:
P(4) = binom54 (0,6)^4 (0,4)^1 = 5 times 0,1296 times 0,4 = 0,2592
  1. A ganha exatamente 5 partidas:
P(5) = binom55 (0,6)^5 (0,4)^0 = 1 times 0,07776 times 1 = 0,07776

Passo 4

Agora, somamos as três probabilidades:
P(A ganhar a série) = P(3) + P(4) + P(5) = 0,3456 + 0,2592 + 0,07776 = 0,68256 é

Passo 5

Resposta Parte a): A probabilidade de A ganhar a série é aproximadamente 68,26%.

Passo 6

Parte b) Sabendo-se que B ganhou 1 partida, qual a probabilidade de A ganhar a série?
Aqui, sabemos que B ganhou 1 partida, então A já ganhou 4 partidas das 5. Para A ganhar a série, ele precisa ter pelo menos 3 vitórias. Mas como ele já ganhou 4, a probabilidade de A ganhar a série é 100%, pois A já superou a marca de 3 vitórias necessárias.

Passo 7

Resposta Parte b): A probabilidade de A ganhar a série, sabendo que B ganhou 1 partida, é 100%.

Passo 8

Parte c) Qual o número esperado de vitórias de A, sabendo-se que A ganhou a série?
O número esperado de vitórias em uma distribuição binomial é dado por:
E = n times p
Mas aqui, temos a condição de que A já ganhou a série, ou seja, A ganhou pelo menos 3 partidas. Precisamos encontrar a esperança condicional E(X | X >= 3) .
Primeiro, calculamos a probabilidade condicionada para cada k >= 3 :
E(X | X >= 3) = sumk=3^5 k cdot P(k)P(X >= 3)
Já calculamos P(X >= 3) = 0,68256 .
Vamos calcular o numerador:
3 times 0,3456 + 4 times 0,2592 + 5 times 0,07776 = 1,0368 + 1,0368 + 0,3888 = 2,4624
Então,
E(X | X >= 3) = 2,46240,68256 approx 3,606

Passo 9

Resposta Parte c): O número esperado de vitórias de A, sabendo que A ganhou a série, é aproximadamente 3,61 vitórias.

Resposta

a) 68,26%
b) 100%
c) 3,61 vitórias

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