Dois adversários A e B disputam uma série de 5 partidas de um determinado jogo. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6 e não há empate.
a) Qual a probabilidade de A ganhar a série?
b) Sabendo-se que B ganhou 1 partida, qual a probabilidade de A ganhar a série?
c) Qual o número esperado de vitórias de A, sabendo-se que A ganhou a série?
a) Qual a probabilidade de A ganhar a série?
b) Sabendo-se que B ganhou 1 partida, qual a probabilidade de A ganhar a série?
c) Qual o número esperado de vitórias de A, sabendo-se que A ganhou a série?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois jogadores, A e B, que vão disputar uma série de 5 partidas de um jogo. A probabilidade de A ganhar uma única partida é 0,6, e não há empates, ou seja, se A não ganha, B ganha automaticamente. Vamos usar conceitos de probabilidade e variáveis aleatórias para resolver as três partes desse exercício.
Passo 2
Parte a) Qual a probabilidade de A ganhar a série?
Primeiro, precisamos entender o que significa “ganhar a série”. Como são 5 partidas, para A ganhar a série, ele precisa vencer pelo menos 3 partidas. Vamos calcular essa probabilidade usando a distribuição binomial, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, com a mesma probabilidade de sucesso em cada tentativa.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
-
(número total de partidas) -
é o número de vitórias que queremos -
(probabilidade de A ganhar uma partida)
Vamos calcular para
e somar essas probabilidades.
Passo 3
Vamos calcular cada caso:
- A ganha exatamente 3 partidas:
- A ganha exatamente 4 partidas:
- A ganha exatamente 5 partidas:
Passo 4
Agora, somamos as três probabilidades:
Passo 5
Resposta Parte a): A probabilidade de A ganhar a série é aproximadamente 68,26%.
Passo 6
Parte b) Sabendo-se que B ganhou 1 partida, qual a probabilidade de A ganhar a série?
Aqui, sabemos que B ganhou 1 partida, então A já ganhou 4 partidas das 5. Para A ganhar a série, ele precisa ter pelo menos 3 vitórias. Mas como ele já ganhou 4, a probabilidade de A ganhar a série é 100%, pois A já superou a marca de 3 vitórias necessárias.
Passo 7
Resposta Parte b): A probabilidade de A ganhar a série, sabendo que B ganhou 1 partida, é 100%.
Passo 8
Parte c) Qual o número esperado de vitórias de A, sabendo-se que A ganhou a série?
O número esperado de vitórias em uma distribuição binomial é dado por:
Mas aqui, temos a condição de que A já ganhou a série, ou seja, A ganhou pelo menos 3 partidas. Precisamos encontrar a esperança condicional
.
Primeiro, calculamos a probabilidade condicionada para cada
:
Já calculamos
.
Vamos calcular o numerador:
Então,
Passo 9
Resposta Parte c): O número esperado de vitórias de A, sabendo que A ganhou a série, é aproximadamente 3,61 vitórias.
Resposta
a) 68,26%
b) 100%
c) 3,61 vitórias
b) 100%
c) 3,61 vitórias