Para que a equação x^{5}-2 x^{4}+4 x^{3}-11 x^{2}+9 x+(m-3) tenha pelo menos uma raiz real compreendida entre 0 e 2 , devemos ter
(A) \mathrm{m}>2 ou \mathrm{m}<-2.
(B) -2<m<2.
(C) \mathrm{m}>3 ou \mathrm{m}<-3.
(D) -3<m<3.
(E) m múltiplo de 3 .

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
f(x)=x^{5}-2x^{4}+4x^{3}-11x^{2}+9x+(m-3)
com parâmetro m, e pede: determinar para quais valores de m a equação f(x)=0 tem pelo menos uma raiz real compreendida entre 0 e 2.
Informações relevantes dadas:
  • A função considerada é o polinômio f(x) acima (dependendo de m).
  • O intervalo de interesse é 0<x<2 (procuramos uma raiz nesse intervalo).
  • Precisamos escolher entre as alternativas (A) a (E).

Passo 2

Ideia principal (ferramenta que vamos usar): Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Explicando o TVI de forma simples e direta:
  • O TVI diz que se g é contínua num intervalo [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um c com a<c<b tal que g\text{(c)}=0.
  • Polinômios são funções contínuas em toda a reta, portanto o TVI vale para f em [0,2].
  • Logo, uma maneira prática de garantir que exista pelo menos uma raiz em (0,2) é mostrar que f(0) e f(2) têm sinais opostos.
Observação útil: se f(0)=0 ou f(2)=0 então existe raiz nos extremos 0 ou 2; mas como o enunciado pede raiz "compreendida entre 0 e 2" (interpreta-se como interno ao intervalo), precisamos de raiz estritamente no interior (0,2). Assim preferimos a condição de mudança de sinal estrita f(0)\cdot f(2)<0.

Passo 3

Calcular f(0) e f(2).
Avaliação em x=0:
f(0)=0^{5}-2\cdot0^{4}+4\cdot0^{3}-11\cdot0^{2}+9\cdot0+(m-3)=m-3.
Avaliação em x=2:
f(2)=2^{5}-2\cdot2^{4}+4\cdot2^{3}-11\cdot2^{2}+9\cdot2+(m-3).
Calculemos termo a termo:
2^{5}=32,\quad -2\cdot2^{4}=-2\cdot16=-32,\quad 4\cdot2^{3}=4\cdot8=32,
-11\cdot2^{2}=-11\cdot4=-44,\quad 9\cdot2=18.
Somando os termos constantes: 32-32+32-44+18 = 6. Então
f(2)=6+(m-3)=m+3.
Portanto:
f(0)=m-3,\qquad f(2)=m+3.

Passo 4

Aplicar o TVI exigindo sinais opostos em 0 e 2.
Queremos f(0)\cdot f(2)<0. Substituindo:
(m-3)(m+3)<0.
Isto é
m^{2}-9<0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2}<9 \quad\Longrightarrow\quad -3<m<3.
Comentário sobre os casos limites m=\pm 3:
  • Se m=3 então f(0)=0 (raiz em x=0), mas isso é um zero no extremo e não no interior (0,2).
  • Se m=-3 então f(2)=0 (raiz em x=2), igualmente no extremo.
    Portanto os extremos não satisfazem a condição de raiz estritamente entre 0 e 2; a condição correta é a desigualdade estrita -3<m<3.

Passo 5

Interpretação final: para todo m com -3<m<3 temos f(0) e f(2) de sinais opostos, logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz c tal que 0<c<2. Assim a alternativa correta é a que expressa -3<m<3.

Resposta

(D) -3<m<3

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