Para que a equação
tenha pelo menos uma raiz real compreendida entre 0 e 2 , devemos ter
(A)
ou
.
(B)
.
(C)
ou
.
(D)
.
(E) m múltiplo de 3 .
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) m múltiplo de 3 .
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
com parâmetro
, e pede: determinar para quais valores de
a equação
tem pelo menos uma raiz real compreendida entre
e
.
Informações relevantes dadas:
- A função considerada é o polinômio
acima (dependendo de ). - O intervalo de interesse é
(procuramos uma raiz nesse intervalo). - Precisamos escolher entre as alternativas (A) a (E).
Passo 2
Ideia principal (ferramenta que vamos usar): Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Explicando o TVI de forma simples e direta:
- O TVI diz que se
é contínua num intervalo e e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe pelo menos um com tal que . - Polinômios são funções contínuas em toda a reta, portanto o TVI vale para
em . - Logo, uma maneira prática de garantir que exista pelo menos uma raiz em
é mostrar que e têm sinais opostos.
Observação útil: se
ou
então existe raiz nos extremos
ou
; mas como o enunciado pede raiz "compreendida entre
e
" (interpreta-se como interno ao intervalo), precisamos de raiz estritamente no interior
. Assim preferimos a condição de mudança de sinal estrita
.
Passo 3
Calcular
e
.
Avaliação em
:
Avaliação em
:
Calculemos termo a termo:
Somando os termos constantes:
. Então
Portanto:
Passo 4
Aplicar o TVI exigindo sinais opostos em
e
.
Queremos
. Substituindo:
Isto é
Comentário sobre os casos limites
:
- Se
então (raiz em ), mas isso é um zero no extremo e não no interior . - Se
então (raiz em ), igualmente no extremo.
Portanto os extremos não satisfazem a condição de raiz estritamente entree ; a condição correta é a desigualdade estrita .
Passo 5
Interpretação final: para todo
com
temos
e
de sinais opostos, logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz
tal que
. Assim a alternativa correta é a que expressa
.
Resposta
(D)