Se \bar{u}=3 \bar{i}-\bar{j}-2 \bar{k}, \bar{v}=2 \bar{i}+4 \bar{j}-\bar{k} e \bar{w}=-\bar{i}+\bar{k}, determinar
(\vec{u}-\vec{v}) \times \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá três vetores no espaço tridimensional:
\bar{u}=3\bar{i}-\bar{j}-2\bar{k},\quad \bar{v}=2\bar{i}+4\bar{j}-\bar{k},\quad \bar{w}=-\bar{i}+\bar{k},
e pede para calcular (\vec{u}-\vec{v})\times\vec{w}. O conteúdo usado aqui é a subtração de vetores componente a componente e a definição de produto vetorial em coordenadas.

Passo 2

Primeiro encontramos o vetor diferença \vec{u}-\vec{v} subtraindo componente a componente:
\vec{u}-\vec{v} =(3-2)\,\bar{i}+(-1-4)\,\bar{j}+(-2-(-1))\,\bar{k} =\bar{i}-5\bar{j}-\bar{k}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula do produto vetorial em coordenadas: se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\times\vec{b} =\bigl(a_2b_3 - a_3b_2\bigr)\,\bar{i} -\bigl(a_1b_3 - a_3b_1\bigr)\,\bar{j} +\bigl(a_1b_2 - a_2b_1\bigr)\,\bar{k}.
Aqui tomamos \vec{a}=\vec{u}-\vec{v}=(1,-5,-1) e \vec{b}=\vec{w}=(-1,0,1).

Passo 4

Calculando cada componente:
\begin{aligned} i\text{-componente}&:(-5)\cdot1 - (-1)\cdot0 = -5,\\\ j\text{-componente}&:\;1\cdot1 - (-1)\cdot(-1)=1-1=0\quad\Rightarrow\;-0=0,\\\ k\text{-componente}&:1\cdot0 - (-5)\cdot(-1)=0-5=-5. \end{aligned}
Logo,
(\vec{u}-\vec{v})\times\vec{w} =-5\,\bar{i}+0\,\bar{j}-5\,\bar{k}.

Resposta

(\vec{u}-\vec{v})\times\vec{w}=-5\bar{i}-5\bar{k}.

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