Considere uma barra com 30 cm de comprimento para a qual \alpha^{2}=2. Suponha que a distribuição inical de temperatura é dada por f(x)=x(60-x) / 30 e que na fronteira x=0 a temperatura seja constante igual 0 e em x=30 ela seja constante igual a 30.
(a) (1 ponto) Escreva o problema que modela a distribuição da temperatura na barra em qualquer instante.
(b) (1 ponto) Encontre a solução estado estacionário do problema.

Passo 1

O enunciado trata da equação do calor unidimensional numa barra de comprimento 30 cm, com difusividade térmica \alpha^{2}=2. A distribuição inicial é
f(x)=\frac{x(60-x)}{30},
e nas extremidades temos condições de contorno fixas u(0,t)=0 e u(30,t)=30. Precisamos (a) formular o modelo PDE completo e (b) encontrar a solução de regime permanente (estado estacionário).

Passo 2

Para modelar o problema usamos a equação do calor
\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha^{2}\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},
com \alpha^{2}=2, definida em 0<x<30 e t>0, sujeita a
u(x,0)=f(x)=\frac{x(60-x)}{30},
u(0,t)=0,\quad u(30,t)=30.

Passo 3

No estado estacionário a temperatura não depende de t, logo \partial u/\partial t=0. Assim
0 = \alpha^{2}\,\frac{d^{2}u}{dx^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^{2}u}{dx^{2}}=0.
Integrando duas vezes vem
u(x)=Ax+B.
Impondo u(0)=0 B=0 e impondo u(30)=30 A=1. Portanto
u_{\text{est}}(x)=x.

Resposta

(a)
\begin{cases} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = 2\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}, &0<x<30,\;t>0,\\[6pt] u(x,0)=\dfrac{x(60-x)}{30}, &0\le x\le30,\\[6pt] u(0,t)=0,\;u(30,t)=30, &t\ge0. \end{cases}
(b)
u_{\text{est}}(x)=x.]

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