Considere uma corda
de comprimento
, que é deslocada de sua posição de equiIibrio, ficando inicialmente disposta como representada pela função
. A corda é solta e colocada em movimento sem velocidade inicial e com as extremidades fixas.
(a) (2 pontos) Determine a função que descreve o deslocamento da corda sabendo que as soluções fundamentais do problema são:
(b) (1 ponto) Qual a altura da corda quando
?
(a) (2 pontos) Determine a função que descreve o deslocamento da corda sabendo que as soluções fundamentais do problema são:
Passo 1
O enunciado descreve uma corda de comprimento
e velocidade de onda
com as extremidades fixas. A condição inicial de deslocamento é
e a velocidade inicial é nula. As soluções fundamentais dadas são
Vamos expandir
como série nesses modos, usando que
e
.
Passo 2
A solução geral da EDP em série de modos é
onde
e usamos
para simplificar
.
Passo 3
Como
, temos
Para termos
em
precisamos de
, ou seja
.
Para termos precisamos de
, ou seja
.
Logo, todos os outros coeficientes são zero, e basta comparar:
Para termos
Logo, todos os outros coeficientes
o que dá
Passo 4
Substituindo em
, com
:
Isto é
Passo 5
Para
e
obtemos
logo
Resposta
(a)
(b) A altura é .
(b) A altura é