Considere uma corda (a=1) de comprimento L=2 \pi, que é deslocada de sua posição de equiIibrio, ficando inicialmente disposta como representada pela função f(x)=5 \operatorname{sen}(x)-7 \operatorname{sen}(8 x). A corda é solta e colocada em movimento sem velocidade inicial e com as extremidades fixas.
(a) (2 pontos) Determine a função que descreve o deslocamento da corda sabendo que as soluções fundamentais do problema são:
u_{n}(x, t)=\operatorname{sen}(n \pi x / L) \cos (n \pi a t / L), \quad n=1,2,3, \ldots
(b) (1 ponto) Qual a altura da corda quando x=\pi \mathrm{e} t=4 \pi ?

Passo 1

O enunciado descreve uma corda de comprimento L=2\pi e velocidade de onda a=1 com as extremidades fixas. A condição inicial de deslocamento é
f(x)=5\operatorname{sen}(x)-7\operatorname{sen}(8x),
e a velocidade inicial é nula. As soluções fundamentais dadas são
u_{n}(x,t)=\operatorname{sen}\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{n\pi a t}{L}\Bigr), \quad n=1,2,3,\dots
Vamos expandir u(x,t) como série nesses modos, usando que u(x,0)=f(x) e \partial_tu(x,0)=0.

Passo 2

A solução geral da EDP em série de modos é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\operatorname{sen}\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{n\pi t}{L}\Bigr),
onde
B_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\operatorname{sen}\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx
e usamos a=1 para simplificar \cos(n\pi a t/L)=\cos(n\pi t/L).

Passo 3

Como L=2\pi, temos
\operatorname{sen}\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr) =\operatorname{sen}\Bigl(\frac{n\pi x}{2\pi}\Bigr) =\operatorname{sen}\Bigl(\frac{n x}{2}\Bigr).
Para termos \operatorname{sen}(x) em f(x) precisamos de n/2=1, ou seja n=2.
Para termos \operatorname{sen}(8x) precisamos de n/2=8, ou seja n=16.
Logo, todos os outros coeficientes B_n são zero, e basta comparar:
f(x) =5\operatorname{sen}(x)-7\operatorname{sen}(8x) =5\operatorname{sen}\Bigl(\tfrac{2x}{2}\Bigr)-7\operatorname{sen}\Bigl(\tfrac{16x}{2}\Bigr),
o que dá
B_2=5, \quad B_{16}=-7, \quad B_n=0\\ \text{para }n\neq2,16.

Passo 4

Substituindo em u(x,t), com L=2\pi:
u(x,t) =5\,\operatorname{sen}\Bigl(\frac{2x}{2}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{2\,t}{2}\Bigr) -7\,\operatorname{sen}\Bigl(\frac{16x}{2}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{16\,t}{2}\Bigr).
Isto é
u(x,t) =5\,\operatorname{sen}(x)\cos(t) -7\,\operatorname{sen}(8x)\cos(8t).

Passo 5

Para x=\pi e t=4\pi obtemos
\operatorname{sen}(\pi)=0, \quad \operatorname{sen}(8\pi)=0,
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u(\pi,4\pi) =5\cdot0\cdot\cos(4\pi)-7\cdot0\cdot\cos(32\pi) =0.

Resposta

(a) \displaystyle u(x,t)=5\,\operatorname{sen}(x)\cos(t)-7\,\operatorname{sen}(8x)\cos(8t).
(b) A altura é 0.

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