De um baralho com 52 cartas, retiram-se 8 cartas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que 4 sejam figuras?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um baralho padrão com 52 cartas e vai tirar 8 cartas de forma aleatória, sem colocar de volta. Queremos descobrir qual é a probabilidade de exatamente 4 dessas cartas serem figuras (ou seja, Valete, Dama e Rei).
Matéria envolvida: Probabilidade, mais especificamente a distribuição hipergeométrica, que é usada quando tiramos cartas sem reposição.
O que precisamos: Saber quantas figuras existem no baralho, o total de cartas, e como aplicar a fórmula da distribuição hipergeométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quantas cartas são figuras no baralho. Em cada naipe (copas, ouros, espadas, paus) temos 3 figuras: Valete, Dama e Rei. Como são 4 naipes, temos:
Então, temos 12 cartas que são figuras em um baralho de 52 cartas.
Passo 3
Agora, queremos tirar 8 cartas do baralho sem reposição. A probabilidade de exatamente 4 dessas 8 serem figuras pode ser calculada usando a distribuição hipergeométrica. A fórmula é:
Onde:
- $ N $ = total de cartas no baralho (52)
- $ K $ = total de figuras no baralho (12)
- $ n $ = número de cartas tiradas (8)
- $ k $ = número de figuras que queremos tirar (4)
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Aqui,
representa as combinações de 4 figuras entre as 12 disponíveis,
são as combinações de 4 cartas que não são figuras entre as 40 restantes, e
é o total de combinações possíveis ao tirar 8 cartas de 52.
Passo 5
Agora, vamos calcular cada uma dessas combinações:
-
:
-
:
-
:
Esse valor é bem grande, mas podemos usar uma calculadora científica ou software para calcular. O resultado é aproximadamente
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula da probabilidade:
Primeiro, multiplicamos 495 por 91.390:
Agora, dividimos pelo total de combinações:
Resposta
A probabilidade de, ao tirar 8 cartas de um baralho de 52, exatamente 4 serem figuras é aproximadamente 6,01%.