De um baralho com 52 cartas, retiram-se 8 cartas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que 4 sejam figuras?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um baralho padrão com 52 cartas e vai tirar 8 cartas de forma aleatória, sem colocar de volta. Queremos descobrir qual é a probabilidade de exatamente 4 dessas cartas serem figuras (ou seja, Valete, Dama e Rei).
Matéria envolvida: Probabilidade, mais especificamente a distribuição hipergeométrica, que é usada quando tiramos cartas sem reposição.
O que precisamos: Saber quantas figuras existem no baralho, o total de cartas, e como aplicar a fórmula da distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantas cartas são figuras no baralho. Em cada naipe (copas, ouros, espadas, paus) temos 3 figuras: Valete, Dama e Rei. Como são 4 naipes, temos:
3 figuras times 4 naipes = 12 figuras
Então, temos 12 cartas que são figuras em um baralho de 52 cartas.

Passo 3

Agora, queremos tirar 8 cartas do baralho sem reposição. A probabilidade de exatamente 4 dessas 8 serem figuras pode ser calculada usando a distribuição hipergeométrica. A fórmula é:
P = binomKk times binomN-Kn-kbinomNn
Onde:
  • $ N $ = total de cartas no baralho (52)
  • $ K $ = total de figuras no baralho (12)
  • $ n $ = número de cartas tiradas (8)
  • $ k $ = número de figuras que queremos tirar (4)

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
P = binom124 times binom404binom528
Aqui, binom124 representa as combinações de 4 figuras entre as 12 disponíveis, binom404 são as combinações de 4 cartas que não são figuras entre as 40 restantes, e binom528 é o total de combinações possíveis ao tirar 8 cartas de 52.

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas combinações:
  1. binom124:
binom124 = 12!4! times (12-4)! = 12 times 11 times 10 times 94 times 3 times 2 times 1 = 495
  1. binom404:
binom404 = 40!4! times (40-4)! = 40 times 39 times 38 times 374 times 3 times 2 times 1 = 91.390
  1. binom528:
binom528 = 52!8! times (52-8)!
Esse valor é bem grande, mas podemos usar uma calculadora científica ou software para calcular. O resultado é aproximadamente 752,538,150.

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula da probabilidade:
P = 495 times 91.390752.538.150
Primeiro, multiplicamos 495 por 91.390:
495 times 91.390 = 45.236.050
Agora, dividimos pelo total de combinações:
P = 45.236.050752.538.150 approx 0,0601

Resposta

A probabilidade de, ao tirar 8 cartas de um baralho de 52, exatamente 4 serem figuras é aproximadamente 6,01%.

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