Uma urna tem 6 bolas brancas, 4 pretas e 5 azuis. Retiram-se 8 bolas com reposição. Qual a probabilidade de sair 4 bolas brancas, 2 pretas e 2 azuis?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma urna com 6 bolas brancas, 4 pretas e 5 azuis, totalizando 15 bolas. O problema nos pede para encontrar a probabilidade de, ao retirar 8 bolas com reposição, obter exatamente 4 brancas, 2 pretas e 2 azuis. Vamos usar conceitos de probabilidade e combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a probabilidade de retirar cada cor de bola em uma única tentativa. Como temos reposição, as probabilidades permanecem constantes em cada retirada.
  • Probabilidade de tirar uma bola branca (P_branca):
    Pbranca = 615 = 25
  • Probabilidade de tirar uma bola preta (P_preta):
    Ppreta = 415
  • Probabilidade de tirar uma bola azul (P_azul):
    Pazul = 515 = 13

Passo 3

Como estamos retirando 8 bolas com reposição, cada retirada é independente das outras. Isso significa que a probabilidade de cada combinação específica de cores pode ser calculada multiplicando as probabilidades individuais.
No nosso caso, queremos exatamente 4 brancas, 2 pretas e 2 azuis. Isso é um cenário de probabilidade multinomial.

Passo 4

A fórmula para calcular a probabilidade multinomial é:
P = n!n1! , n2! , n3! times (Pbranca)^n1 times (Ppreta)^n2 times (Pazul)^n3
Onde:
  • $ n = 8 $ é o número total de retiradas.
  • $ n_1 = 4 $ é o número de bolas brancas.
  • $ n_2 = 2 $ é o número de bolas pretas.
  • $ n_3 = 2 $ é o número de bolas azuis.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
P = 8!4! , 2! , 2! times (25)^4 times (415)^2 times (13)^2
Calculando os fatoriais:
8! = 40320, 4! = 24, 2! = 2
Então:
8!4! , 2! , 2! = 4032024 times 2 times 2 = 4032096 = 420

Passo 6

Agora, substituímos esse valor de volta na equação:
P = 420 times (25)^4 times (415)^2 times (13)^2
Calculando cada potência:
(25)^4 = 16625, (415)^2 = 16225, (13)^2 = 19
Multiplicando todos os termos:
P = 420 times 16625 times 16225 times 19
P = 420 times 2561265625 = 1075201265625 approx 0,085

Resposta

A probabilidade de retirar exatamente 4 bolas brancas, 2 pretas e 2 azuis em 8 retiradas com reposição é aproximadamente 8,5%.

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