Uma urna tem 6 bolas brancas, 4 pretas e 5 azuis. Retiram-se 8 bolas com reposição. Qual a probabilidade de sair 4 bolas brancas, 2 pretas e 2 azuis?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma urna com 6 bolas brancas, 4 pretas e 5 azuis, totalizando 15 bolas. O problema nos pede para encontrar a probabilidade de, ao retirar 8 bolas com reposição, obter exatamente 4 brancas, 2 pretas e 2 azuis. Vamos usar conceitos de probabilidade e combinatória para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a probabilidade de retirar cada cor de bola em uma única tentativa. Como temos reposição, as probabilidades permanecem constantes em cada retirada.
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Probabilidade de tirar uma bola branca (P_branca):
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Probabilidade de tirar uma bola preta (P_preta):
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Probabilidade de tirar uma bola azul (P_azul):
Passo 3
Como estamos retirando 8 bolas com reposição, cada retirada é independente das outras. Isso significa que a probabilidade de cada combinação específica de cores pode ser calculada multiplicando as probabilidades individuais.
No nosso caso, queremos exatamente 4 brancas, 2 pretas e 2 azuis. Isso é um cenário de probabilidade multinomial.
Passo 4
A fórmula para calcular a probabilidade multinomial é:
Onde:
- $ n = 8 $ é o número total de retiradas.
- $ n_1 = 4 $ é o número de bolas brancas.
- $ n_2 = 2 $ é o número de bolas pretas.
- $ n_3 = 2 $ é o número de bolas azuis.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Calculando os fatoriais:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos esse valor de volta na equação:
Calculando cada potência:
Multiplicando todos os termos:
Resposta
A probabilidade de retirar exatamente 4 bolas brancas, 2 pretas e 2 azuis em 8 retiradas com reposição é aproximadamente 8,5%.