O CRH de uma firma entrevista 150 candidatos a emprego por hora. Qual a probabilidade de entrevistar:
a) No máximo 3 candidatos em 2 minutos?
b) Exatamente 8 candidatos em 4 minutos?

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre o CRH (Controle de Recursos Humanos) de uma empresa que entrevista 150 candidatos por hora. A gente precisa calcular a probabilidade de entrevistar:
a) No máximo 3 candidatos em 2 minutos.
b) Exatamente 8 candidatos em 4 minutos.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de um certo número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a taxa média de entrevistas. A empresa entrevista 150 candidatos por hora. Como queremos trabalhar em minutos, vamos converter essa taxa.
Sabemos que 1 hora tem 60 minutos. Então, a taxa por minuto é:
lambdamin = 150 candidatos60 minutos = 2,5 candidatos por minuto

Passo 3

Agora, para cada parte do exercício, precisamos ajustar a taxa para o intervalo de tempo dado.
a) Para 2 minutos:
lambda = 2,5 times 2 = 5
b) Para 4 minutos:
lambda = 2,5 times 4 = 10

Passo 4

A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
  • $ \lambda $ é a taxa média de eventos no intervalo.
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (~2,71828).
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 5

a) Probabilidade de no máximo 3 candidatos em 2 minutos
Isso significa que queremos $ P(X \leq 3) $, ou seja, a soma das probabilidades de entrevistar 0, 1, 2 ou 3 candidatos.
P(X <= 3)
Vamos calcular cada termo usando $ \lambda = 5 $:
P(X <= 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
lambda = 5
P(X=0) = 5^0 e^-50! = e^-5 approx 0,0067
P(X=1) = 5^1 e^-51! = 5e^-5 approx 0,0337
Somando tudo:
P(X=2) = 5^2 e^-52! = 25 e^-52 approx 0,0842

Passo 6

b) Probabilidade de exatamente 8 candidatos em 4 minutos
Aqui, queremos $ P(X = 8) $ com $ \lambda = 10 $.
Aplicando a fórmula de Poisson:
P(X = 8)
Calculando passo a passo:
lambda = 10
P(X=8) = 10^8 e^-108!
10^8 = 100,000,000
Agora, substituindo na fórmula:
8! = 40320

Resposta

a) A probabilidade de entrevistar no máximo 3 candidatos em 2 minutos é aproximadamente 26,49%.
b) A probabilidade de entrevistar exatamente 8 candidatos em 4 minutos é aproximadamente 11,26%.

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