Suponha que a probabilidade de que um telefonista realize uma venda durante qualquer um dos telefonemas feitos é 0,19. Encontre a probabilidade de que o telefonista:
a) Faça sua primeira venda durante a quinta ligação.
b) Faça sua primeira venda durante a primeira, segunda ou terceira ligação.
c) Não faça uma venda durante as três primeiras ligações.
d) Faça sua terceira venda durante a décima ligação.
e) Faça sua segunda venda depois da terceira ligação.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. O enunciado fala sobre a probabilidade de um telefonista conseguir fazer uma venda durante uma ligação, que é de 0,19. A gente vai calcular diferentes probabilidades relacionadas a quantas ligações ele leva para fazer suas primeiras vendas ou quantas vendas ele faz em um certo número de ligações. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica, como a distribuição geométrica e a distribuição binomial.

Passo 2

a) Probabilidade de fazer a primeira venda durante a quinta ligação.
Aqui, queremos que as primeiras quatro ligações não resultem em venda, e que a quinta ligação seja uma venda. Como cada ligação é independente, a probabilidade disso acontecer é:
P = (1 - p)^k-1 times p
Onde $ p = 0,19 $ e $ k = 5 $.

Passo 3

b) Probabilidade de fazer a primeira venda durante a primeira, segunda ou terceira ligação.
Nesse caso, queremos que a primeira venda ocorra em uma das três primeiras ligações. Podemos calcular individualmente para cada ligação e somar as probabilidades:
P = P(1) + P(2) + P(3)
Onde:
P(k) = (1 - p)^k-1 times p

Passo 4

c) Probabilidade de não fazer uma venda durante as três primeiras ligações.
Aqui, queremos que nas três primeiras ligações não haja nenhuma venda. A probabilidade disso é:
P = (1 - p)^3

Passo 5

d) Probabilidade de fazer a terceira venda durante a décima ligação.
Para essa parte, usamos a distribuição binomial negativa, que calcula a probabilidade de se obter o $ r $-ésimo sucesso na $ n $-ésima tentativa. A fórmula é:
r
Onde $ r = 3 $ e $ n = 10 $.

Passo 6

e) Probabilidade de fazer a segunda venda depois da terceira ligação.
Aqui, queremos que a segunda venda ocorra após a terceira ligação. Isso significa que nas três primeiras ligações, o telefonista faz no máximo uma venda. Podemos calcular isso somando as probabilidades de fazer exatamente 0 ou 1 venda nas três primeiras ligações e depois calcular a probabilidade da segunda venda ocorrer após.

Resposta

a) A probabilidade de fazer a primeira venda na quinta ligação é aproximadamente 0,0815.
b) A probabilidade de fazer a primeira venda na primeira, segunda ou terceira ligação é aproximadamente 0,4863.
c) A probabilidade de não fazer nenhuma venda nas três primeiras ligações é aproximadamente 0,6585.
d) A probabilidade de fazer a terceira venda durante a décima ligação é aproximadamente 0,0547.
e) A probabilidade de fazer a segunda venda depois da terceira ligação é aproximadamente 0,3215.

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