Um baralho contém 52 cartas e 4 ases. Se as cartas forem embaralhadas e distribuídas de maneira aleatória para 4 pessoas, de modo que cada pessoa receba 13 cartas, qual é a probabilidade (clássica) de os 4 ases ficarem com a mesma pessoa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um baralho com 52 cartas, sendo 4 delas ases. Essas cartas são embaralhadas e distribuídas de forma aleatória para 4 pessoas, cada uma recebendo 13 cartas. A pergunta é: qual é a probabilidade clássica de que todas as 4 cartas de ás fiquem na mesma mão de uma só pessoa? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade clássica e combinatória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é probabilidade clássica. Ela é calculada dividindo o número de eventos favoráveis pelo número total de eventos possíveis. No nosso caso, o evento favorável é todas as 4 cartas de ás estarem na mesma mão, e o evento possível é todas as formas de distribuir as 52 cartas entre as 4 pessoas.

Passo 3

Vamos calcular o número total de formas de distribuir as 52 cartas para 4 pessoas, cada uma recebendo 13 cartas. Isso é dado pela combinação:
Total de maneiras = binom5213, 13, 13, 13 = 52!(13!)^4
Aqui, usamos o conceito de combinação multinomial, que conta as maneiras de dividir um conjunto em grupos de tamanhos específicos.

Passo 4

Agora, vamos calcular o número de eventos favoráveis, ou seja, as formas de distribuir as cartas de modo que todas as 4 ases fiquem na mesma mão. Primeiro, escolhemos qual das 4 pessoas vai receber os 4 ases. Isso pode ser feito de 4 maneiras.

Passo 5

Depois de escolher a pessoa que vai receber os ases, precisamos distribuir as outras 48 cartas entre as 4 pessoas, lembrando que a pessoa que já recebeu os 4 ases ainda precisa receber mais 9 cartas (totalizando 13). As outras 3 pessoas receberão 13 cartas cada.
O número de maneiras de fazer isso é:
binom489, 13, 13, 13 = 48!9! cdot (13!)^3

Passo 6

Então, o número total de eventos favoráveis é:
Eventos favoráveis = 4 times 48!9! cdot (13!)^3 á

Passo 7

Agora, podemos calcular a probabilidade dividindo o número de eventos favoráveis pelo número total de maneiras de distribuir as cartas:
Probabilidade = 4 times 48!9! cdot (13!)^352!(13!)^4 = 4 times 48! times 13!9! times 52!

Passo 8

Simplificando a expressão, temos:
Probabilidade = 4 times 13!9! times 52 times 51 times 50 times 49
Calculando os valores:
13! = 6227020800 9! = 362880 52 times 51 times 50 times 49 = 6497400
Substituindo:
Probabilidade = 4 times 6227020800362880 times 6497400 approx 249080832002350993920000 approx 0,0106

Resposta

A probabilidade de todas as 4 cartas de ás ficarem na mesma pessoa é de aproximadamente 1,06%.

Exercícios relacionados