Uma caixa contém 24 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas. Suponha que:
  • Uma pessoa seleciona 10 lâmpadas aleatoriamente.
  • Em seguida, outra pessoa seleciona as 14 lâmpadas restantes.
    Qual é a probabilidade (clássica) de as 4 lâmpadas defeituosas serem selecionadas pela mesma pessoa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa com 24 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas. Duas pessoas vão selecionar as lâmpadas: a primeira escolhe 10 aleatoriamente e a segunda pega as 14 restantes. Queremos saber a probabilidade de todas as 4 lâmpadas defeituosas serem escolhidas pela mesma pessoa, ou seja, todas vão para a primeira pessoa ou todas vão para a segunda. Vamos usar conceitos de probabilidade clássica e combinações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de todas as 4 lâmpadas defeituosas serem escolhidas pela primeira pessoa, que seleciona 10 lâmpadas.
Para isso, vamos usar a combinação, que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos escolher um subconjunto sem considerar a ordem. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens,
  • $ k $ é o número de itens a serem escolhidos.
A probabilidade de a primeira pessoa pegar todas as 4 lâmpadas defeituosas é igual ao número de maneiras de escolher essas 4 defectuosas entre as 4 disponíveis, multiplicado pelo número de maneiras de escolher as outras 6 lâmpadas não defeituosas entre as 20 que restam, dividido pelo total de maneiras de escolher 10 lâmpadas dentre as 24.
Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Número de maneiras de escolher todas as 4 defeituosas: $ C(4, 4) = 1 $
  2. Número de maneiras de escolher as 6 não defeituosas: $ C(20, 6) $
  3. Número total de maneiras de escolher 10 lâmpadas: $ C(24, 10) $
Então, a probabilidade $ P_A $ é:
n
Agora, vamos calcular a probabilidade de todas as 4 lâmpadas defeituosas serem escolhidas pela segunda pessoa, que pega as 14 restantes. Isso significa que a primeira pessoa não pegou nenhuma das lâmpadas defeituosas, então toda aquelas ficaram para a segunda pessoa.
A probabilidade $ P_B $ é:
k
Note que $ C(24, 14) = C(24, 10) $ devido à propriedade das combinações.

Passo 3

Vamos agora calcular cada uma dessas probabilidades.
Primeiro, calculando $ P_A $:
PA
C(4, 4) = 1
C(20, 6) = 20!6! times 14! = 38760
C(24, 10) = 24!10! times 14! = 1961256
Agora, calculando $ P_B $:
PA = 1 times 387601961256 approx 0,0198 ou 1,98%
PB
C(20, 10) = 20!10! times 10! = 184756
C(4, 4) = 1

Passo 4

Como queremos que todas as 4 lâmpadas defeituosas sejam escolhidas pela mesma pessoa, devemos somar as duas probabilidades que calculamos:
Ptotal = PA + PB = 0,0198 + 0,0942 = 0,114 ou 11,4%

Resposta

A probabilidade de todas as 4 lâmpadas defeituosas serem selecionadas pela mesma pessoa é de aproximadamente 11,4%.

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