Uma caixa contém 24 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas. Suponha que:
- Uma pessoa seleciona 10 lâmpadas aleatoriamente.
- Em seguida, outra pessoa seleciona as 14 lâmpadas restantes.
Qual é a probabilidade (clássica) de as 4 lâmpadas defeituosas serem selecionadas pela mesma pessoa?
Qual é a probabilidade (clássica) de as 4 lâmpadas defeituosas serem selecionadas pela mesma pessoa?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa com 24 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas. Duas pessoas vão selecionar as lâmpadas: a primeira escolhe 10 aleatoriamente e a segunda pega as 14 restantes. Queremos saber a probabilidade de todas as 4 lâmpadas defeituosas serem escolhidas pela mesma pessoa, ou seja, todas vão para a primeira pessoa ou todas vão para a segunda. Vamos usar conceitos de probabilidade clássica e combinações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de todas as 4 lâmpadas defeituosas serem escolhidas pela primeira pessoa, que seleciona 10 lâmpadas.
Para isso, vamos usar a combinação, que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos escolher um subconjunto sem considerar a ordem. A fórmula da combinação é:
Onde:
- $ n $ é o total de itens,
- $ k $ é o número de itens a serem escolhidos.
A probabilidade de a primeira pessoa pegar todas as 4 lâmpadas defeituosas é igual ao número de maneiras de escolher essas 4 defectuosas entre as 4 disponíveis, multiplicado pelo número de maneiras de escolher as outras 6 lâmpadas não defeituosas entre as 20 que restam, dividido pelo total de maneiras de escolher 10 lâmpadas dentre as 24.
Vamos fazer isso passo a passo:
- Número de maneiras de escolher todas as 4 defeituosas: $ C(4, 4) = 1 $
- Número de maneiras de escolher as 6 não defeituosas: $ C(20, 6) $
- Número total de maneiras de escolher 10 lâmpadas: $ C(24, 10) $
Então, a probabilidade $ P_A $ é:
Agora, vamos calcular a probabilidade de todas as 4 lâmpadas defeituosas serem escolhidas pela segunda pessoa, que pega as 14 restantes. Isso significa que a primeira pessoa não pegou nenhuma das lâmpadas defeituosas, então toda aquelas ficaram para a segunda pessoa.
A probabilidade $ P_B $ é:
Note que $ C(24, 14) = C(24, 10) $ devido à propriedade das combinações.
Passo 3
Vamos agora calcular cada uma dessas probabilidades.
Primeiro, calculando $ P_A $:
Agora, calculando $ P_B $:
Passo 4
Como queremos que todas as 4 lâmpadas defeituosas sejam escolhidas pela mesma pessoa, devemos somar as duas probabilidades que calculamos:
Resposta
A probabilidade de todas as 4 lâmpadas defeituosas serem selecionadas pela mesma pessoa é de aproximadamente 11,4%.