Um baralho padrão de 52 cartas (sem coringas) é bem embaralhado e em seguida são sorteadas 5 cartas sem reposição. Um jogador, antes do sorteio, escolhe previamente 5 cartas distintas do baralho.
(a) Qual é a probabilidade de que as cinco cartas escolhidas pelo jogador apareçam no sorteio?
(b) Qual é a probabilidade de que quatro cartas escolhidas pelo jogador coincidam com as cinco cartas sorteadas?
(c) Qual é a probabilidade de que três cartas escolhidas pelo jogador coincidam com as cinco cartas sorteadas?
(d) Se o jogador participar desse sorteio semanalmente, qual é o número esperado de semanas até que ele consiga acertar todas as cinco cartas?

Passo 1

O enunciado dá um baralho padrão com 52 cartas (sem coringas). Um jogador escolhe, antes do sorteio, 5 cartas distintas do baralho. Em seguida são sorteadas 5 cartas sem reposição (um conjunto de 5 cartas). Perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de que as cinco cartas escolhidas pelo jogador apareçam no sorteio?
(b) Qual é a probabilidade de que quatro das cartas escolhidas coincidam com as cinco cartas sorteadas?
(c) Qual é a probabilidade de que três das cartas escolhidas coincidam com as cinco cartas sorteadas?
(d) Se o jogador participa desse sorteio toda semana, qual é o número esperado de semanas até que ele consiga acertar todas as cinco cartas?
Informações relevantes dadas:
\;52 cartas no total; o jogador escolhe \;5 cartas; o sorteio também produz \;5 cartas sem reposição. Não há ordem nas cartas sorteadas (apenas o conjunto importa). A amostra total de resultados possíveis do sorteio é o conjunto de todas as mãos de 5 cartas tiradas de 52.

Passo 2

Vamos contar quantos resultados possíveis existem para o sorteio de 5 cartas dentre 52. A quantidade de maneiras de escolher k objetos dentre n sem ordem é dada pela combinação
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! significa n fatorial (produto n(n-1)(n-2)\cdots1). Aqui o total de mãos de 5 cartas é
\binom{52}{5}.
Para calcular numericamente sem fatorial completo, usamos a forma cancelada:
\binom{52}{5}=\frac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Fazendo as multiplicações e cancelamentos obtemos
\binom{52}{5}=2\,598\,960.
Esse número é o espaço amostral: existem 2\,598\,960 conjuntos distintos de 5 cartas possíveis.

Passo 3

Para responder (a) — probabilidade de que as cinco cartas escolhidas pelo jogador sejam exatamente as sorteadas — pense assim: entre todas as \binom{52}{5} mãos possíveis, apenas uma mão coincide exatamente com a seleção prévia do jogador. Usando combinações (ou a fórmula hipergeométrica),
\Pr(\text{5 acertos})=\frac{\binom{5}{5}\binom{47}{0}}{\binom{52}{5}}=\frac{1}{\binom{52}{5}}.
Substituindo o valor de \binom{52}{5},
\Pr(\text{5 acertos})=\frac{1}{2\,598\,960}\approx 0,000000384615.
Explicação didática: \binom{5}{5} escolhe quais das 5 cartas do jogador aparecem (todas), e \binom{47}{0} escolhe as cartas restantes do baralho (nenhuma). Só existe uma mão favorável.

Passo 4

Vou explicar a forma geral que uso para (b) e (c): a distribuição hipergeométrica. Suponha que numa população de N itens existem K itens “bons” (aqui: as K=5 cartas escolhidas pelo jogador). Se escolhemos n itens sem reposição (aqui n=5), a probabilidade de obter exatamente k itens “bons” é
\Pr(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}.
Interpretação das variáveis:
  • N é o total de objetos (aqui N=52),
  • K é o número de itens especiais na população (aqui K=5),
  • n é o número de itens retirados (aqui n=5),
  • k é o número de acertos que queremos (aqui k=4 ou k=3 conforme o item).
A ideia é: escolher k das K cartas escolhidas pelo jogador e escolher os n-k restantes entre as N-K cartas que ele não escolheu; dividir pelo total de escolhas \binom{N}{n}.

Passo 5

Responder (b): probabilidade de exatamente quatro coincidências ( k=4). Aplicando a fórmula hipergeométrica com N=52, K=5, n=5, k=4:
\Pr(\text{4 acertos})=\frac{\binom{5}{4}\binom{47}{1}}{\binom{52}{5}}.
Calculamos os termos:
\binom{5}{4}=5 e \binom{47}{1}=47. Então o número de mãos favoráveis é 5\cdot47=235. Assim
\Pr(\text{4 acertos})=\frac{235}{2\,598\,960}\approx 0,000090498.
Interpretação prática: escolhemos quais 4 das 5 cartas do jogador aparecem ( 5 maneiras) e a quinta carta sorteada é uma das 47 que o jogador não escolheu.

Passo 6

Responder (c): probabilidade de exatamente três coincidências ( k=3). Usando a fórmula:
\Pr(\text{3 acertos})=\frac{\binom{5}{3}\binom{47}{2}}{\binom{52}{5}}.
Calculamos os termos:
\binom{5}{3}=10 e \binom{47}{2}=\dfrac{47\cdot46}{2}=1\,081. O número de mãos favoráveis é 10\cdot1\,081=10\,810. Portanto
\Pr(\text{3 acertos})=\frac{10\,810}{2\,598\,960}\approx 0,004159.
Interpretação: escolhemos quais 3 das 5 cartas do jogador aparecem ( 10 escolhas) e as outras 2 cartas sorteadas vêm das 47 não escolhidas ( \binom{47}{2}=1\,081 maneiras).

Passo 7

Responder (d): número esperado de semanas até o primeiro sucesso de acertar as 5 cartas (se cada semana há um sorteio independente com mesma probabilidade do item (a)). Quando temos tentativas independentes com probabilidade de sucesso p por tentativa, o número de tentativas até o primeiro sucesso tem distribuição geométrica e o valor esperado é 1/p. Aqui p=\Pr(\text{5 acertos})=1/\binom{52}{5}. Assim
\text{esperança (semanas)}=\frac{1}{p}=\binom{52}{5}=2\,598\,960\\ \text{semanas}.ç
Convertendo para anos (dividindo por 52 semanas/ano):
\frac{2\,598\,960}{52}=49\,980\\ \text{anos}.
Comentário motivador: ou seja, em média seriam cerca de 2\,598\,960 semanas, isto é, quase 50 mil anos — por isso é extremamente improvável ganhar acertando as cinco cartas escolhidas.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{\binom{52}{5}}=\frac{1}{2\,598\,960}\approx 0,000000384615
(b) \displaystyle \frac{\binom{5}{4}\binom{47}{1}}{\binom{52}{5}}=\frac{235}{2\,598\,960}\approx 0,000090498
(c) \displaystyle \frac{\binom{5}{3}\binom{47}{2}}{\binom{52}{5}}=\frac{10\,810}{2\,598\,960}\approx 0,004159
(d) \displaystyle \text{esperança}=\binom{52}{5}=2\,598\,960\\ \text{semanas}=49\,980\\ \text{anos}ç

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