Um baralho padrão de 52 cartas (sem coringas) é bem embaralhado e em seguida são sorteadas 5 cartas sem reposição. Um jogador, antes do sorteio, escolhe previamente 5 cartas distintas do baralho.
(a) Qual é a probabilidade de que as cinco cartas escolhidas pelo jogador apareçam no sorteio?
(b) Qual é a probabilidade de que quatro cartas escolhidas pelo jogador coincidam com as cinco cartas sorteadas?
(c) Qual é a probabilidade de que três cartas escolhidas pelo jogador coincidam com as cinco cartas sorteadas?
(d) Se o jogador participar desse sorteio semanalmente, qual é o número esperado de semanas até que ele consiga acertar todas as cinco cartas?
(a) Qual é a probabilidade de que as cinco cartas escolhidas pelo jogador apareçam no sorteio?
(b) Qual é a probabilidade de que quatro cartas escolhidas pelo jogador coincidam com as cinco cartas sorteadas?
(c) Qual é a probabilidade de que três cartas escolhidas pelo jogador coincidam com as cinco cartas sorteadas?
(d) Se o jogador participar desse sorteio semanalmente, qual é o número esperado de semanas até que ele consiga acertar todas as cinco cartas?
Passo 1
O enunciado dá um baralho padrão com
cartas (sem coringas). Um jogador escolhe, antes do sorteio,
cartas distintas do baralho. Em seguida são sorteadas
cartas sem reposição (um conjunto de
cartas). Perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de que as cinco cartas escolhidas pelo jogador apareçam no sorteio?
(b) Qual é a probabilidade de que quatro das cartas escolhidas coincidam com as cinco cartas sorteadas?
(c) Qual é a probabilidade de que três das cartas escolhidas coincidam com as cinco cartas sorteadas?
(d) Se o jogador participa desse sorteio toda semana, qual é o número esperado de semanas até que ele consiga acertar todas as cinco cartas?
(a) Qual é a probabilidade de que as cinco cartas escolhidas pelo jogador apareçam no sorteio?
(b) Qual é a probabilidade de que quatro das cartas escolhidas coincidam com as cinco cartas sorteadas?
(c) Qual é a probabilidade de que três das cartas escolhidas coincidam com as cinco cartas sorteadas?
(d) Se o jogador participa desse sorteio toda semana, qual é o número esperado de semanas até que ele consiga acertar todas as cinco cartas?
Informações relevantes dadas:
cartas no total; o jogador escolhe
cartas; o sorteio também produz
cartas sem reposição. Não há ordem nas cartas sorteadas (apenas o conjunto importa). A amostra total de resultados possíveis do sorteio é o conjunto de todas as mãos de
cartas tiradas de
.
Passo 2
Vamos contar quantos resultados possíveis existem para o sorteio de
cartas dentre
. A quantidade de maneiras de escolher
objetos dentre
sem ordem é dada pela combinação
onde
significa
fatorial (produto
). Aqui o total de mãos de
cartas é
Para calcular numericamente sem fatorial completo, usamos a forma cancelada:
Fazendo as multiplicações e cancelamentos obtemos
Esse número é o espaço amostral: existem
conjuntos distintos de
cartas possíveis.
Passo 3
Para responder (a) — probabilidade de que as cinco cartas escolhidas pelo jogador sejam exatamente as sorteadas — pense assim: entre todas as
mãos possíveis, apenas uma mão coincide exatamente com a seleção prévia do jogador. Usando combinações (ou a fórmula hipergeométrica),
Substituindo o valor de
,
Explicação didática:
escolhe quais das
cartas do jogador aparecem (todas), e
escolhe as cartas restantes do baralho (nenhuma). Só existe uma mão favorável.
Passo 4
Vou explicar a forma geral que uso para (b) e (c): a distribuição hipergeométrica. Suponha que numa população de
itens existem
itens “bons” (aqui: as
cartas escolhidas pelo jogador). Se escolhemos
itens sem reposição (aqui
), a probabilidade de obter exatamente
itens “bons” é
Interpretação das variáveis:
-
é o total de objetos (aqui ), -
é o número de itens especiais na população (aqui ), -
é o número de itens retirados (aqui ), -
é o número de acertos que queremos (aqui ou conforme o item).
A ideia é: escolher
das
cartas escolhidas pelo jogador e escolher os
restantes entre as
cartas que ele não escolheu; dividir pelo total de escolhas
.
Passo 5
Responder (b): probabilidade de exatamente quatro coincidências (
). Aplicando a fórmula hipergeométrica com
,
,
,
:
Calculamos os termos:
e
. Então o número de mãos favoráveis é
. Assim
Interpretação prática: escolhemos quais 4 das 5 cartas do jogador aparecem (
maneiras) e a quinta carta sorteada é uma das
que o jogador não escolheu.
Passo 6
Responder (c): probabilidade de exatamente três coincidências (
). Usando a fórmula:
Calculamos os termos:
e
. O número de mãos favoráveis é
. Portanto
Interpretação: escolhemos quais 3 das 5 cartas do jogador aparecem (
escolhas) e as outras
cartas sorteadas vêm das
não escolhidas (
maneiras).
Passo 7
Responder (d): número esperado de semanas até o primeiro sucesso de acertar as 5 cartas (se cada semana há um sorteio independente com mesma probabilidade do item (a)). Quando temos tentativas independentes com probabilidade de sucesso
por tentativa, o número de tentativas até o primeiro sucesso tem distribuição geométrica e o valor esperado é
. Aqui
. Assim
Convertendo para anos (dividindo por
semanas/ano):
Comentário motivador: ou seja, em média seriam cerca de
semanas, isto é, quase
mil anos — por isso é extremamente improvável ganhar acertando as cinco cartas escolhidas.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)