Seja X uma v.a.c com f.d.p f(x), definida por f(x)=a x^{2}(1-x), 0 \leqslant x \leqslant 1 e f(x)=0, nos demais casos. Calcular o valor de a, a f.d.a F(x), E(X), V(X), P\left(X<\frac{1}{4}\right) e P\left(X<\frac{1}{4} \left\lvert\, \frac{1}{3}<X<\frac{2}{3}\right.\right).

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória contínua X e pede vários itens. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido.
Informações do enunciado:
f(x)=a\,x^{2}(1-x)\quad\text{para }0\le x\le 1,
f(x)=0\quad\text{nos demais casos.}
O que o enunciado pede:
  1. Calcular o valor de a.
  2. Determinar a função de distribuição acumulada F(x).
  3. Calcular E(X).
  4. Calcular V(X).
  5. Calcular P\!\left(X<\tfrac{1}{4}\right).
  6. Calcular P\!\left(X<\tfrac{1}{4}\left\lvert\,\tfrac{1}{3}<X<\tfrac{2}{3}\right.\right).
Vou resolver passo a passo cada item e, enquanto faço, explico com calma as ideias e fórmulas usadas para você conseguir refazer na prova.

Passo 2

Encontrar a pela condição de normalização da f.d.p.: a integral da densidade em todo o eixo deve ser 1. Isso significa
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [0,1], basta integrar em [0,1]. Então
\int_{0}^{1} a\,x^{2}(1-x)\,dx = 1.
Explico a técnica: primeiro expandimos o integrando para integrar termos simples. Temos x^{2}(1-x)=x^{2}-x^{3}. Logo
\int_{0}^{1} a\,(x^{2}-x^{3})\,dx = a\left[\int_{0}^{1} x^{2}\,dx - \int_{0}^{1} x^{3}\,dx\right].
As integrais básicas são \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Então
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \frac{1}{3},\qquad \int_{0}^{1} x^{3}\,dx=\frac{1}{4}.
Portanto
a\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=1.
Calcule \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}. Assim
a\cdot\frac{1}{12}=1 \quad\Rightarrow\quad a=12.

Passo 3

Determinar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x). Lembre a definição para uma v.a. contínua:
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Por ser f(t)=0 para t<0 e para t>1, F é peça‑por‑peça:
  • Se x<0, então F(x)=0 porque toda massa está em [0,1].
  • Se 0\le x\le 1, então
F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt = \int_{0}^{x} 12\,t^{2}(1-t)\,dt.
Novamente expandimos t^{2}(1-t)=t^{2}-t^{3}. Então
F(x)=12\int_{0}^{x} (t^{2}-t^{3})\,dt = 12\left[\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{x}.
Avalia:
F(x)=12\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right).
Podemos simplificar: \dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}=\dfrac{4x^{3}-3x^{4}}{12}, multiplicando por 12
F(x)=4x^{3}-3x^{4}\quad\text{para }0\le x\le 1.
  • Se x>1, então F(x)=1.
Resumindo:
F(x)=\begin{cases} 0,& x<0,\\[4pt] 4x^{3}-3x^{4},& 0\le x\le 1,\\[4pt] 1,& x>1. \end{cases}]

Passo 4

Calcular E(X). Fórmula para esperança de uma v.a. contínua:
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Como f está em [0,1], fazemos a integral em [0,1]:
E(X)=\int_{0}^{1} x\cdot 12x^{2}(1-x)\,dx = 12\int_{0}^{1} (x^{3}-x^{4})\,dx.
Expliquei: multiplicamos x por x^{2}(1-x) para obter x^{3}-x^{4}. Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1} x^{4}\,dx=\frac{1}{5}.
Logo
E(X)=12\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)=12\left(\frac{1}{20}\right)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}.
Interpretação: a média da distribuição é 0{,}6.

Passo 5

Calcular V(X). Vou usar a fórmula prática
V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.
Então primeiro calculamos E(X^{2}):
E(X^{2})=\int_{0}^{1} x^{2}\cdot 12x^{2}(1-x)\,dx = 12\int_{0}^{1} (x^{4}-x^{5})\,dx.
Integramos:
\int_{0}^{1} x^{4}\,dx=\frac{1}{5},\qquad \int_{0}^{1} x^{5}\,dx=\frac{1}{6}.
Portanto
E(X^{2})=12\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)=12\left(\frac{1}{30}\right)=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}.
Agora calcule a variância:
V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=\frac{2}{5}-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{2}{5}-\frac{9}{25}.
Colocando em denominador comum 25 temos \dfrac{10}{25}-\dfrac{9}{25}=\dfrac{1}{25}. Logo
V(X)=\frac{1}{25}.

Passo 6

Calcular P\!\left(X<\tfrac{1}{4}\right). Para uma v.a. contínua, P(X< x)=F(x) (não há diferença entre < e \le para contínuas). Então basta avaliar a c.d.f. em x=\tfrac{1}{4}. Pelo passo 3:
F\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=4\left(\tfrac{1}{4}\right)^{3}-3\left(\tfrac{1}{4}\right)^{4}.
Calcule passo a passo:
\left(\tfrac{1}{4}\right)^{3}=\tfrac{1}{64},\qquad \left(\tfrac{1}{4}\right)^{4}=\tfrac{1}{256}.
Assim
F\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=4\cdot\frac{1}{64}-3\cdot\frac{1}{256}=\frac{4}{64}-\frac{3}{256}=\frac{1}{16}-\frac{3}{256}.
Comum denominador 256: \dfrac{16}{256}-\dfrac{3}{256}=\dfrac{13}{256}. Portanto
P\!\left(X<\tfrac{1}{4}\right)=\frac{13}{256}.

Passo 7

Calcular P\!\left(X<\tfrac{1}{4}\left\lvert\,\tfrac{1}{3}<X<\tfrac{2}{3}\right.\right). Usamos a definição de probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
onde A=\{X<\tfrac{1}{4}\} e B=\{\tfrac{1}{3}<X<\tfrac{2}{3}\}.
Observe a posição numérica dos intervalos: \tfrac{1}{4}=0{,}25 e \tfrac{1}{3}\approx 0{,}333\ldots. O evento A exige X<0{,}25 e B exige X>0{,}333\ldots. Esses dois eventos são mutuamente exclusivos: não existe x que seja simultaneamente menor que 0{,}25 e maior que 0{,}333\ldots. Portanto A\cap B=\emptyset e assim P(A\cap B)=0.
Para garantir que o denominador P(B) não seja zero, podemos calcular P(B)=F(\tfrac{2}{3})-F(\tfrac{1}{3}) usando a c.d.f. do passo 3. Rápido:
F\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=4\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3}-3\left(\tfrac{1}{3}\right)^{4}=4\cdot\frac{1}{27}-3\cdot\frac{1}{81}=\frac{4}{27}-\frac{1}{27}=\frac{3}{27}=\frac{1}{9},
F\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=4\left(\tfrac{2}{3}\right)^{3}-3\left(\tfrac{2}{3}\right)^{4}=4\cdot\frac{8}{27}-3\cdot\frac{16}{81}=\frac{32}{27}-\frac{48}{81}=\frac{32}{27}-\frac{16}{27}=\frac{16}{27}.
Logo
P(B)=\frac{16}{27}-\frac{1}{9}=\frac{16}{27}-\frac{3}{27}=\frac{13}{27},
que é positivo. Como P(A\cap B)=0, temos
P\!\left(X<\tfrac{1}{4}\left\lvert\,\tfrac{1}{3}<X<\tfrac{2}{3}\right.\right)=\frac{0}{P(B)}=0.

Resposta

a=12
F(x)=\begin{cases}0,&x<0,\\[4pt]4x^{3}-3x^{4},&0\le x\le 1,\\[4pt]1,&x>1,\end{cases}
E(X)=\dfrac{3}{5}
V(X)=\dfrac{1}{25}
P\!\left(X<\tfrac{1}{4}\right)=\dfrac{13}{256}
P\!\left(X<\tfrac{1}{4}\left\lvert\,\tfrac{1}{3}<X<\tfrac{2}{3}\right.\right)=0]

Exercícios relacionados