Seja X uma v.a.c com f.d.p f(x), definida por f(x)=a x^{2}(1-x), 0 \leqslant x \leqslant 1 e f(x)=0, nos demais casos. Calcular o valor de a, a f.d.a F(x), E(X), V(X), P\left(X<\frac{1}{4}\right) e P\left(X<\frac{1}{4} \left\lvert\, \frac{1}{3}<X<\frac{2}{3}\right.\right).
Passo 1
O enunciado dá a densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória contínua X e pede vários itens. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido.
Informações do enunciado:
f(x)=a\,x^{2}(1-x)\quad\text{para }0\le x\le 1,
f(x)=0\quad\text{nos demais casos.}
O que o enunciado pede:
Calcular o valor de a.
Determinar a função de distribuição acumulada F(x).
Colocando em denominador comum 25 temos \dfrac{10}{25}-\dfrac{9}{25}=\dfrac{1}{25}. Logo
V(X)=\frac{1}{25}.
Passo 6
Calcular P\!\left(X<\tfrac{1}{4}\right). Para uma v.a. contínua, P(X< x)=F(x) (não há diferença entre < e \le para contínuas). Então basta avaliar a c.d.f. em x=\tfrac{1}{4}. Pelo passo 3:
Calcular P\!\left(X<\tfrac{1}{4}\left\lvert\,\tfrac{1}{3}<X<\tfrac{2}{3}\right.\right). Usamos a definição de probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
onde A=\{X<\tfrac{1}{4}\} e B=\{\tfrac{1}{3}<X<\tfrac{2}{3}\}.
Observe a posição numérica dos intervalos: \tfrac{1}{4}=0{,}25 e \tfrac{1}{3}\approx 0{,}333\ldots. O evento A exige X<0{,}25 e B exige X>0{,}333\ldots. Esses dois eventos são mutuamente exclusivos: não existe x que seja simultaneamente menor que 0{,}25 e maior que 0{,}333\ldots. Portanto A\cap B=\emptyset e assim P(A\cap B)=0.
Para garantir que o denominador P(B) não seja zero, podemos calcular P(B)=F(\tfrac{2}{3})-F(\tfrac{1}{3}) usando a c.d.f. do passo 3. Rápido: