Uma barata de massa m está sobre um disco de vinil de massa 6 m e raio R. O disco gira em torno de um eixo central, com velocidade angular igual a 1,50 rad / s. A barata está inicialmente a uma distância r=0,80 R do centro do disco, mas rasteja até a borda do disco. Trate a barata como se fosse uma partícula.
Saiba que o momento de inércia de um disco que gira em torno de um eixo central é dado por I=(1 / 2) M R^2.
Determine:
(b) A sua velocidade linear ao chegar à borda do disco, se considerarmos que o disco tem o diâmetro igual 40,0 cm.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma barata com massa $ m $ que está sobre um disco de vinil com massa $ 6m $ e raio $ R $. Esse disco está girando em torno do seu eixo central com uma velocidade angular de $ 1,50 , rad/s $. Inicialmente, a barata está a uma distância de $ r = 0,80 R $ do centro do disco, mas ela rasteja até a borda. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade linear da barata quando ela chegar na borda do disco, sabendo que o diâmetro do disco é $ 40,0 , cm $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular. O momento de inércia nos ajuda a entender como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação, e a conservação do momento angular nos diz que, na ausência de torques externos, o momento angular total do sistema permanece constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o raio $ R $ do disco, já que nos foi dado o diâmetro. O diâmetro é $ 40,0 , cm $, então o raio é metade disso:
R

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia inicial do sistema (disco + barata na posição inicial). O momento de inércia do disco é dado por:
Idisco = 12 M R^2
Onde $ M = 6m $. Substituindo:
M = 6m
O momento de inércia da barata quando está a $ r = 0,80 R $:
Idisco = 12 times 6m times (0,20)^2 = 12 times 6m times 0,04 = 0,12m , kg·m^2
Então, o momento de inércia total inicial é:
r = 0,80 R

Passo 4

Quando a barata se move até a borda do disco ($ r = R = 0,20 , m $), o novo momento de inércia da barata será:
r = R = 0,20 , m
O momento de inércia total final será então:
Ibarata final = m R^2 = m times (0,20)^2 = 0,04m , kg·m^2

Passo 5

Agora, vamos aplicar a conservação do momento angular. Inicialmente, o momento angular $ L_{inicial} $ é dado por:
Linicial
Quando a barata chega na borda, o momento angular final $ L_{final} $ será:
Linicial = Iinicial times omegainicial = 0,1456m times 1,50 = 0,2184m , kg·m^2/s
Como não há torque externo, $ L_{inicial} = L_{final} $, então:
Lfinal
Resolvendo para $ \omega_{final} $:
Lfinal = Ifinal times omegafinal

Passo 6

Finalmente, queremos a velocidade linear da barata na borda. A relação entre velocidade linear $ v $ e velocidade angular $ \omega $ é:
v
Substituindo os valores:
omega

Resposta

A velocidade linear da barata ao chegar à borda do disco é de aproximadamente $ 0,273 , m/s $.

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