Uma barata de massa
está sobre um disco de vinil de massa 6
e raio
. O disco gira em torno de um eixo central, com velocidade angular igual a
. A barata está inicialmente a uma distância
do centro do disco, mas rasteja até a borda do disco. Trate a barata como se fosse uma partícula.
Saiba que o momento de inércia de um disco que gira em torno de um eixo central é dado por
.
Determine:
(b) A sua velocidade linear ao chegar à borda do disco, se considerarmos que o disco tem o diâmetro igual
.
Saiba que o momento de inércia de um disco que gira em torno de um eixo central é dado por
Determine:
(b) A sua velocidade linear ao chegar à borda do disco, se considerarmos que o disco tem o diâmetro igual
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma barata com massa $ m $ que está sobre um disco de vinil com massa $ 6m $ e raio $ R $. Esse disco está girando em torno do seu eixo central com uma velocidade angular de $ 1,50 , rad/s $. Inicialmente, a barata está a uma distância de $ r = 0,80 R $ do centro do disco, mas ela rasteja até a borda. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade linear da barata quando ela chegar na borda do disco, sabendo que o diâmetro do disco é $ 40,0 , cm $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular. O momento de inércia nos ajuda a entender como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação, e a conservação do momento angular nos diz que, na ausência de torques externos, o momento angular total do sistema permanece constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o raio $ R $ do disco, já que nos foi dado o diâmetro. O diâmetro é $ 40,0 , cm $, então o raio é metade disso:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia inicial do sistema (disco + barata na posição inicial). O momento de inércia do disco é dado por:
Onde $ M = 6m $. Substituindo:
O momento de inércia da barata quando está a $ r = 0,80 R $:
Então, o momento de inércia total inicial é:
Passo 4
Quando a barata se move até a borda do disco ($ r = R = 0,20 , m $), o novo momento de inércia da barata será:
O momento de inércia total final será então:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a conservação do momento angular. Inicialmente, o momento angular $ L_{inicial} $ é dado por:
Quando a barata chega na borda, o momento angular final $ L_{final} $ será:
Como não há torque externo, $ L_{inicial} = L_{final} $, então:
Resolvendo para $ \omega_{final} $:
Passo 6
Finalmente, queremos a velocidade linear da barata na borda. A relação entre velocidade linear $ v $ e velocidade angular $ \omega $ é:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade linear da barata ao chegar à borda do disco é de aproximadamente $ 0,273 , m/s $.