Um barbante preso ao teto tem uma massa pequena de 400 g amarrada na extremidade. Quando o sistema oscila com a pequena amplitude de 1,0^circ, o período é de 700 ms . (a) Qual é o tamanho do barbante? (b) Qual é a velocidade máxima da massa? (c) Qual é a tensão máxima no barbante? (d) Qual é a tensão mínima no barbante? (e) Se o barbante for cortado ao meio e a nova extremidade presa ao teto, qual será o novo período de oscilação? (f) Se, de alguma forma, mais energia for adicionada ao sistema e a amplitude deixar de ser pequena, o período aumentará ou diminuirá? Justifique.

Passo 1

O enunciado fala de um pêndulo simples com massa de 400 g, período de 700 ms e amplitude pequena de 1,0°. Vamos usar a teoria de pêndulo simples (T = 2π√(L/g)), relações de velocidade para movimento harmônico simples e a expressão da tensão variável no fio.

Passo 2

Para achar o comprimento L do barbante a partir do período usamos a fórmula do pêndulo simples:

Passo 3

T = 2piraizLg

Passo 4

Despejando L:

Passo 5

L = gl(T2pir)^2

Passo 6

Substituindo g = 9,81 m/s² e T = 0,700 s:

Passo 7

L = 9,81l(0,7002pir)^2 approx 0,12 m

Passo 8

A velocidade máxima ocorre no ponto de equilíbrio e, para pequeno ângulo, o movimento angular é harmônico simples com ω = 2π/T e deslocamento linear A = L·θ₀. Assim:

Passo 9

omega = 2piT approx 8,98 rad/s, theta0 = 1,0^circ = 0,01745 rad

Passo 10

vmax = omega,A = omega,L,theta0 = 8,98times0,12times0,01745 approx 0,0191 m/s

Passo 11

A tensão no fio varia com o ângulo θ e a velocidade v segundo T_fio = mg cos θ + m v²/L. No fundo (θ=0, v=vₘₐₓ) a tensão é máxima, e no amplitude (v=0, θ=θ₀) é mínima.

Passo 12

Tmax = m g + mvmax^2L = 0,40times9,81 + 0,40(0,0191)^20,12 approx 3,925 N

Passo 13

Tmin = m gcostheta0 = 0,40times9,81timescos(0,01745) approx 3,923 N

Passo 14

Se cortamos o barbante ao meio, o novo comprimento é L/2. O período novo vale

Passo 15

T' = 2piraizL/2g = T1raiz2 = 0,700raiz2 approx 0,495 s

Passo 16

Para amplitudes grandes o pêndulo simples deixa de ser estritamente harmônico. A correção de período cresce com a amplitude, então o período aumenta quando a amplitude deixa de ser pequena.

Resposta

a) 0,12 m
b) 0,0191 m/s
c) 3,925 N
d) 3,923 N
e) 0,495 s
f) O período aumenta com a amplitude, pois o movimento deixa de ser puramente harmônico.

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