Seja
uma função de classe
. O gráfico de
pode ser considerado como uma superfĂcie de nĂvel de equação
. Mostre que a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
coincide com a equação do plano tangente a superfĂcie de nĂvel de equação
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação do plano tangente ao gráfico da função de classe
no ponto
é a mesma equação do plano tangente à superfície de nível
no mesmo ponto. Vamos usar duas abordagens: (i) diferencial total de
para o gráfico e (ii) gradiente de
para a superfície de nível.
Passo 2
Pela abordagem do gráfico, lembramos que a diferencial total de
em
dá a equação do plano tangente como
onde
.
Passo 3
Definimos a função de nível
Como
é
,
também é
. Calculamos então as derivadas parciais em
:
Passo 4
Para uma superfície de nível
, a equação do plano tangente em
é dada por
Passo 5
Substituindo
,
e
, obtemos
Rearranjando, vem
que é exatamente a mesma que encontramos no passo 2.
Resposta
A equação do plano tangente obtida pelas duas abordagens coincide: