Seja z=f(x, y) uma função de classe C^1. O gráfico de f(x, y) pode ser considerado como uma superfície de nível de equação F(x, y, z)=z-f(x, y)=0. Mostre que a equação do plano tangente ao gráfico da função z=f(x, y) no ponto P0=(x0, y0, f(x0, y0)) coincide com a equação do plano tangente a superfície de nível de equação F(x, y, z)=z-f(x, y)=0 no ponto P0=(x0, y0, f(x0, y0)).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação do plano tangente ao gráfico da função de classe C^1
z=f(x,y)
no ponto
P0=(x0,y0,f(x0,y0))
é a mesma equação do plano tangente à superfície de nível
F(x,y,z)=z-f(x,y)=0
no mesmo ponto. Vamos usar duas abordagens: (i) diferencial total de f para o gráfico e (ii) gradiente de F para a superfície de nível.

Passo 2

Pela abordagem do gráfico, lembramos que a diferencial total de f em (x0,y0) dá a equação do plano tangente como
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0),
onde z0=f(x0,y0).

Passo 3

Definimos a função de nível
F(x,y,z)=z - f(x,y)
Como f é C^1, F também é C^1. Calculamos então as derivadas parciais em (x0,y0,z0):
Fx = -fx, Fy = -fy, Fz = 1

Passo 4

Para uma superfície de nível F(x,y,z)=0, a equação do plano tangente em P0 é dada por
Fx(P0),(x - x0) + Fy(P0),(y - y0) + Fz(P0),(z - z0) = 0

Passo 5

Substituindo Fx(P0)=-fx(x0,y0), Fy(P0)=-fy(x0,y0) e Fz(P0)=1, obtemos
-,fx(x0,y0),(x - x0) ;-; fy(x0,y0),(y - y0) ;+; (z - z0) =0
Rearranjando, vem
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0),
que é exatamente a mesma que encontramos no passo 2.

Resposta

A equação do plano tangente obtida pelas duas abordagens coincide:
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Exercícios relacionados