Em cada um dos itens abaixo, dê um exemplo, se possível de uma função f: D subset R R satisfazendo as condições dadas.
com uma assíntota vertical em x=-2, lim x +infty f(x)=+infty e lim x -infty f(x)=-infty.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f:DsubsetRtoR que tenha:
  1. Assíntota vertical em x=-2.
  2. limxto+inftyf(x)=+infty.
  3. limxto-inftyf(x)=-infty.
Para isso vamos usar o fato de que uma assíntota vertical em x=-2 aparece se x+2 estiver no denominador e anular ali, e que o comportamento no infinito pode ser controlado escolhendo graus apropriados no numerador e denominador.

Passo 2

Escolhemos uma função racional da forma
f(x)=x^2,x+2,
Aqui o numerador é de grau 2 e o denominador de grau 1, o que garante que para lvert xrvert grande o quociente se comporte como x, crescendo para +infty ou decrescendo para -infty.

Passo 3

Verificação da assíntota vertical em x=-2:
O domínio é
D=Rsetminus-2,
pois em x=-2 o denominador zera. Ao aproximar xto-2 temos
x+2to0 Longrightarrow f(x)=x^2x+2topminfty,
caracterizando uma assíntota vertical em x=-2.

Passo 4

Cálculo dos limites no infinito:
Para xto+infty,
f(x)=x^2x+2=x,(x)x,(1+2/x)approxx1+0=x;longrightarrow;+infty
Para xto-infty,
f(x)approx x;longrightarrow;-infty,
pois o sinal de x domina o quociente.

Resposta

Uma função que satisfaz todas as condições é
f(x)=x^2x+2,
com domínio D=Rsetminus-2.

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