Encontre o domínio e imagem das seguintes funções:
f(x)=1raiz1-2 x-6x-1

Passo 1

O enunciado pede domínio e imagem de f(x)=1raiz,1-2x-6x-1,. Para resolver, precisamos garantir que o denominador da fração não seja zero e que o radicando seja estritamente positivo.

Passo 2

Simplificamos o radicando:
1 - 2x-6x-1 = (x-1)-(2x-6)x-1 = -x+5x-1 = 5-xx-1

Passo 3

Exigimos xneq1 (para não anular o denominador externo) e
5-xx-1>0
Os pontos críticos são x=1 e x=5. Testando sinais em cada intervalo, verifica-se que a fração só é positiva em 1<x<5.

Passo 4

Concluímos que o domínio de f é
(1,5)

Passo 5

Para a imagem, note que ao aproximar xto1^+ o radicando 5-xx-1to+infty e, portanto, f(x)to0^+. Já para xto5^- o radicando to0^+ e f(x)to+infty. Como f é contínua e estritamente crescente em (1,5), sua imagem é
(0,infty)

Resposta

Domínio: (1,5)
Imagem: (0,infty)

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