Uma barbearia atende um cliente por vez e tem três cadeiras para acomodar os clientes à espera. Se o local estiver cheio, os clientes procuram outra barbearia. As chegadas ocorrem de acordo com uma distribuição de Poisson com média de 4 por hora. O tempo para cortar o cabelo segue a distribuição exponencial com média de 15 minutos. Determine o seguinte:
a) As probabilidades de estado em equilíbrio.
\text { Resposta: } p_{1}=0,2, \quad p_{2}=0,2, \quad p_{3}=0,2, \quad p_{4}=0,2 .
b) O número esperado de clientes na barbearia.
\text { Resposta: } L_{s}=2 \text { clientes } .
c) A probabilidade de clientes procurarem outra barbearia porque essa está cheia.
\text { Resposta: } p_{4}=0,2 \text {. }

Passo 1

O sistema é um modelo M/M/1/K com taxa de chegada \lambda=4 clientes/hora, taxa de atendimento \mu=4 clientes/hora (pois tempo médio de serviço é 15 min =0,25 h) e capacidade total K=4 clientes no sistema ( 1 sendo atendido +3 na fila). Precisamos de (a) p_n em regime permanente, (b) o número médio de clientes L_s e (c) a probabilidade de bloqueio (cheio).

Passo 2

Calculamos a razão de tráfego
\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{4}{4} =1.
Para \rho=1 e capacidade K, a distribuição em regime permanente é homogênea sobre os estados n=0,1,\dots,4:
p_n = \frac{1}{K+1} = \frac{1}{5} = 0,2.

Passo 3

Logo as probabilidades de estado são
p_{0}=0,2,\quad p_{1}=0,2,\quad p_{2}=0,2,\quad p_{3}=0,2,\quad p_{4}=0,2.

Passo 4

O número esperado de clientes no sistema é
L_s = \sum_{n=0}^{4} n\,p_n = \frac{0+1+2+3+4}{5} = 2.

Passo 5

A probabilidade de bloqueio (sistema cheio) é
P(\text{cheio}) = p_{4} = 0,2.

Resposta

a) p_{1}=0,2,\quad p_{2}=0,2,\quad p_{3}=0,2,\quad p_{4}=0,2.
b) L_{s}=2 clientes.
c) \;p_{4}=0,2.

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