O First Bank of Springdale tem um sistema de caixa eletrônico do tipo drive-in com uma pista. Os carros chegam de acordo com uma distribuição de Poisson à taca de 12 carros por hora. O tempo que um carro necessita para concluir a transação no caixa eletrônico se distribui conforme uma exponencial com média de 6 minutos. A capacidade total da pista é dez carros. Quando a pista estiver cheia, outro carro que chegar à procura de serviço vai para outra agência. Determine o seguinte:
a) A probabilidade de um carro que chegar não poder usar o caixa eletrônico porque a pista está cheia.
\text { Considere a série aritmética: } \sum_{n=0}^{\infty} x^{i}=x^{0}+x^{1}+\cdots+x^{n} \quad \therefore \quad \sum_{n=0}^{\infty} x^{i}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}, x \neq 1éé
Resposta: p_{10}=0,1925.
b) A probabilidade de um carro não poder usar o caixa eletrônico imediatamente ao chegar.
Resposta: p_{n>1}=0,9689.
c) O número médio de carros na pista.
Resposta: L_{s}=6,71 carros.

Passo 1

O sistema é do tipo M/M/1/K com chegada Poisson de taxa \lambda=12 carros/hora, serviço exponencial com tempo médio de 6 minutos ( 0,1 h), logo taxa de serviço \mu=1/0,1=10 carros/hora, e capacidade total K=10 (incluindo o que está em atendimento).

Passo 2

Calcule a razão de tráfego
\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{12}{10} = 1,2.

Passo 3

Para M/M/1/K com \rho\neq1, a probabilidade do sistema estar com n carros é
p_n = p_0\,\rho^n,
onde
p_0 = \frac{1-\rho}{1-\rho^{\,K+1}} = \frac{1-1,2}{1-1,2^{\,11}} = \frac{-0,2}{1-7,430083707} =0,031102\,.

Passo 4

a) A probabilidade de bloqueio (chegar e achar 10 carros) é
p_{10} = p_0\,\rho^{10} =0,031102\times1,2^{10} \approx0,1925.

Passo 5

b) Um carro não pode usar imediatamente o caixa se ao chegar o servidor estiver ocupado, ou seja, o sistema não estiver vazio. Logo
P(\text{não imediato}) =1-p_0 =1-0,031102 \approx0,9689.ã

Passo 6

c) O número médio de carros no sistema é dado por
L_s =\sum_{n=0}^{K}n\,p_n =\frac{\rho\bigl[1-(K+1)\rho^K+K\,\rho^{K+1}\bigr]} {(1-\rho)\bigl[1-\rho^{K+1}\bigr]}
Substituindo \rho=1,2 e K=10 obtém-se
L_s\approx6,71\text{ carros.}

Resposta

a) 0,1925
b) 0,9689
c) 6,71

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