1^{\circ} ) O maior número de reclamações dos proprietários de automóveis com dois anos de uso se refere ao desempenho do sistema elétrico. Considere que um questionário anual, enviado aos proprietários de mais de 300 marcas e modelos de automóveis, revelou que 10 \% dos proprietários de automóveis com
dois anos de uso encontraram pontos com problemas no sistema elétrico, que incluiam o motor de arranque, o alternador, a bateria, controles diversos, luzes e rádio. Qual a probabilidade de que uma amostra de 12 proprietários de automóveis com dois anos ter:
a) Exatamente dois proprietários com problemas no sistema elétrico
b) Pelo menos dois proprietários com problemas no sistema elétrico

Passo 1

O enunciado diz que, em média, 10\% dos proprietários de automóveis com dois anos de uso têm problemas no sistema elétrico. Pegamos uma amostra de n=12 proprietários e queremos achar probabilidades envolvendo o número de proprietários com problemas. O modelo apropriado é a distribuição binomial, pois cada proprietário ou “tem problema” (sucesso) com probabilidade p=0,10 ou “não tem problema” com probabilidade 1-p=0,90, de forma independente.

Passo 2

Denotemos por X o número de proprietários com problemas na amostra. Então
X \sim \mathrm{Binomial}(n=12,\;p=0,10),
e a probabilidade de exatamente k sucessos é
P(X=k) \;=\;\binom{12}{k}\,(0,10)^k\,(0,90)^{12-k}.
Para k=2 temos
P(X=2)=\binom{12}{2}\,(0,10)^2\,(0,90)^{10}.

Passo 3

Agora calculamos numericamente:
\binom{12}{2}=66,\quad (0,10)^2=0,01,\quad (0,90)^{10}\approx0,3486784401,
P(X=2)=66\times0,01\times0,3486784401\approx0,2301.

Passo 4

Para achar P(X\ge2) é mais simples usar o complemento:
P(X\ge2)=1-P(X\le1) =1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)\bigr].
Aplicamos a fórmula binomial para k=0 e k=1:
P(X=0)=\binom{12}{0}(0,10)^0(0,90)^{12}=(0,90)^{12},
P(X=1)=\binom{12}{1}(0,10)^1(0,90)^{11}=12\times0,10\times(0,90)^{11}.

Passo 5

Calculando:
(0,90)^{12}\approx0,2824295365, \quad 12\times0,10\times(0,90)^{11}\approx0,3765727153,
P(X\ge2)=1-\bigl(0,2824295365+0,3765727153\bigr)\approx1-0,6590022518\approx0,3410.

Resposta

(a) P(X=2)=\displaystyle \binom{12}{2}(0,10)^2(0,90)^{10}\approx0,2301
(b) P(X\ge2)=1-\bigl[\binom{12}{0}(0,10)^0(0,90)^{12}+\binom{12}{1}(0,10)^1(0,90)^{11}\bigr]\approx0,3410

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