Uma barca de transporte marítimo tem base retangular de área
, altura
c massa
. Se colocada vazia no mar, ela alcança o equilibrio quando seu fundo fica a uma profundidade
abaixo do nivel do mar. (a) Use o princípio de Arquimedes para escrever uma expressâo para
função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre uma barca com base retangular de área $ A $, altura $ l $ e massa $ m $. Quando a barca é colocada vazia no mar, ela fica estável com o fundo a uma profundidade $ h $ abaixo do nível do mar. Nosso objetivo aqui é usar o Princípio de Arquimedes para encontrar uma expressão que relaciona $ h $ com $ A $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Princípio de Arquimedes. Esse princípio diz que qualquer objeto totalmente ou parcialmente submerso em um fluido (como a água) sofre uma força para cima, chamada de empuxo, que é igual ao peso do fluido que o objeto desloca.
Passo 3
Agora, vamos calcular o empuxo que atua na barca. Para isso, precisamos saber o volume de água que a barca desloca quando está submersa até a profundidade $ h $. Como a base da barca é retangular com área $ A $, o volume deslocado é simplesmente $ A $ vezes $ h $:
Passo 4
O peso do fluido deslocado (água do mar) é dado pela densidade da água ($ \rho
g $) e pelo volume deslocado. Assim, o empuxo $ E $ é:
Passo 5
Em equilíbrio, o empuxo que atua para cima é igual ao peso da barca que atua para baixo. O peso da barca é dado por sua massa $ m $ vezes a aceleração da gravidade $ g $:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação cancelando o $ g $ dos dois lados:
Agora, isolamos $ h $ para encontrar a expressão desejada:
Resposta
A profundidade $ h $ é dada por: