Um planador foi projetado para que a velocidade do ar fluindo por cima de suas asas scja v1=vp c abaixo das asas seja v2=alpha vp, onde vp é a velocidade do planador e alpha(<1) é o fator acrodinâmico das asas. A massa do planador é m=1200 kg e suas asas tem uma área A=20,0 m^2. Durante o vôo alphav=0.8; durante a aterrizagem (com flaps acionados) o fator aerodinâmico se altera para alphaa. Use a conservaçāo de energia (equação de Bernoulli) para obter uma expressão relacionando vp e alpha cm termos de m e A. (b) Qual deve ser o fator acrodinàmico alphaa durante uma aterrizagem com velocidade vp=40 m / s(=144 km / h) para que a força de sustentaçăo continue igualando o peso do planador? Ignore a cspessura das asas c assuma rhoar=1,2 kg / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida no que o exercício tá pedindo. Temos um planador com massa de $ m = 1200 , kg $ e área das asas de $ A = 20,0 , m^2 $. A velocidade do ar que passa por cima das asas é $ v_1 = v_p $ e por baixo é $ v_2 = \alpha v_p $, onde $ \alpha $ é um fator menor que 1 que modifica a velocidade. Durante o voo normal, $ \alpha_v = 0,8 $, e durante a aterrissagem esse fator muda para $ \alpha_a $. A gente precisa usar a conservação de energia, especificamente a equação de Bernoulli, pra relacionar a velocidade do planador $ v_p $ e o fator $ \alpha $ em função da massa $ m $ e da área $ A $. Depois, na parte (b), vamos descobrir qual valor $ \alpha_a $ deve ter durante a aterrissagem para que a sustentação iguale o peso do planador quando a velocidade for $ 40 , m/s $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Equação de Bernoulli, que é uma das leis fundamentais da hidrodinâmica e aerodinâmica. Ela diz que para um fluido incompressível e sem atrito, a seguinte quantidade é constante ao longo de uma linha de fluxo:
P + 12 rho v^2 + rho g h = constante
Onde:
  • $ P $ é a pressão do fluido,
  • $ \rho $ é a densidade do fluido,
  • $ v $ é a velocidade do fluido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ h $ é a altura.
No nosso caso, estamos considerando voo a uma altitude constante, então a variação de altura $ h $ é desprezível. Assim, podemos simplificar a equação para:
P

Passo 3

Vamos aplicar a Equação de Bernoulli às duas superfícies das asas do planador: a de cima e a de baixo.
  • Superfície de cima: velocidade do ar é $ v_1 = v_p $ e pressão é $ P_1 $.
  • Superfície de baixo: velocidade do ar é $ v_2 = \alpha v_p $ e pressão é $ P_2 $.
Aplicando Bernoulli em cima e embaixo:
v1 = vp

Passo 4

A força de sustentação $ L $ que mantém o planador no ar é resultado da diferença de pressão entre a parte de baixo e de cima das asas, multiplicada pela área das asas:
L
Usando a equação que obtivemos anteriormente:
L = (P2 - P1) times A
Simplificando:
P2 - P1 = 12 rho vp^2 - 12 rho (alpha vp)^2
Então, a força de sustentação fica:
P2 - P1 = 12 rho vp^2 (1 - alpha^2)

Passo 5

Para que o planador se mantenha no voo nivelado, a força de sustentação $ L $ deve igualar o peso do planador $ P = mg $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s^2 $):
L

Passo 6

Vamos rearranjar essa equação para relacionar $ v_p $ e $ \alpha $:
vp
E isolando $ v_p $:
alpha

Resposta

A expressão que relaciona a velocidade do planador $ v_p $ e o fator aerodinâmico $ \alpha $ em termos da massa $ m $ e da área das asas $ A $ é:
vp

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