Uma barca de transporte marítimo tem base retangular de área
, altura
c massa
. Se colocada vazia no mar, ela alcança o equilibrio quando seu fundo fica a uma profundidade
abaixo do nivel do mar. (b) Sc
e
, qual a máxima massa da carga que a balsa pode transportar de forma segura, com sua borda pelo menos
acima do nível do mar?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barca com base retangular que, quando vazia, fica com o fundo a uma profundidade
abaixo do nível do mar. Queremos descobrir qual a máxima massa que essa barca pode levar como carga, mantendo sua borda pelo menos
acima do nível do mar.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Princípio de Arquimedes, que diz que a força de empuxo exercida por um fluido sobre um objeto é igual ao peso do fluido deslocado por esse objeto. Também vamos usar fórmulas de densidade e equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a profundidade
quando a barca está vazia. Sabemos que a força de empuxo (
) deve equilibrar o peso da barca.
A força de empuxo é dada por:
onde:
-
é a densidade da água do mar, -
é a aceleração da gravidade, -
é o volume de água deslocado.
O volume deslocado quando a barca está vazia é:
com
.
O peso da barca é:
No equilíbrio:
Vamos calcular
:
Passo 3
Agora, queremos que a borda da barca fique pelo menos
acima do nível do mar quando ela está carregada. Isso significa que a profundidade total que a barca pode ficar submersa é a altura da barca menos essa margem:
Então, o volume total de água que a barca pode deslocar quando está carregada é:
Passo 4
A força de empuxo máxima que a barca pode exercer é:
Vamos calcular:
Passo 5
Esse empuxo máximo deve equilibrar o peso da barca mais a carga que ela vai transportar. Ou seja:
Queremos encontrar
, então rearranjamos a equação:
Resposta
A máxima massa da carga que a barca pode transportar de forma segura é aproximadamente 196.320 kg.