Uma barca de transporte marítimo tem base retangular de área A, altura l c massa m. Se colocada vazia no mar, ela alcança o equilibrio quando seu fundo fica a uma profundidade h abaixo do nivel do mar. (b) Sc A=10^2 m^2, l=3,0 m, m=10^4 kg e rho mar =1030 kg / m^3, qual a máxima massa da carga que a balsa pode transportar de forma segura, com sua borda pelo menos 1,0 m acima do nível do mar?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barca com base retangular que, quando vazia, fica com o fundo a uma profundidade h abaixo do nível do mar. Queremos descobrir qual a máxima massa que essa barca pode levar como carga, mantendo sua borda pelo menos 1,0 m acima do nível do mar.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Princípio de Arquimedes, que diz que a força de empuxo exercida por um fluido sobre um objeto é igual ao peso do fluido deslocado por esse objeto. Também vamos usar fórmulas de densidade e equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a profundidade h quando a barca está vazia. Sabemos que a força de empuxo ( E) deve equilibrar o peso da barca.
A força de empuxo é dada por:
E = rhomar cdot g cdot V
onde:
  • rhomar = 1030 kg/m^3 é a densidade da água do mar,
  • g = 9,81 m/s^2 é a aceleração da gravidade,
  • V é o volume de água deslocado.
O volume deslocado quando a barca está vazia é:
V = A cdot h
com A = 10^2 m^2.
O peso da barca é:
P = m cdot g = 10^4 kg cdot 9,81 m/s^2
No equilíbrio:
E = P rhomar cdot g cdot A cdot h = m cdot g rhomar cdot A cdot h = m h = mrhomar cdot A
Vamos calcular h:
h = 10^41030 cdot 10^2 = 10^410^5 = 0,1 m

Passo 3

Agora, queremos que a borda da barca fique pelo menos 1,0 m acima do nível do mar quando ela está carregada. Isso significa que a profundidade total que a barca pode ficar submersa é a altura da barca menos essa margem:
hmax = l - 1,0 m = 3,0 m - 1,0 m = 2,0 m
Então, o volume total de água que a barca pode deslocar quando está carregada é:
Vmax = A cdot hmax = 10^2 cdot 2,0 = 200 m^3

Passo 4

A força de empuxo máxima que a barca pode exercer é:
Emax = rhomar cdot g cdot Vmax Emax = 1030 cdot 9,81 cdot 200
Vamos calcular:
Emax = 1030 cdot 9,81 cdot 200 approx 2.022.060 N

Passo 5

Esse empuxo máximo deve equilibrar o peso da barca mais a carga que ela vai transportar. Ou seja:
Emax = (m + mcarga) cdot g
Queremos encontrar mcarga, então rearranjamos a equação:
mcarga = Emaxg - m mcarga = 2.022.0609,81 - 10^4 mcarga approx 206.320 kg - 10.000 kg mcarga approx 196.320 kg

Resposta

A máxima massa da carga que a barca pode transportar de forma segura é aproximadamente 196.320 kg.

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