1 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Calcule o momento de inércia de uma haste de comprimento a e massa \mathbf{M} em relação a um eixo perpendicular passando pelo seu centro. Repita o cálculo para o momento de inércia em relação a um eixo também perpendicular, mas passando pela extremidade. Verifique se os resultados estão consistentes com o teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner).

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma haste uniforme de comprimento a e massa M em relação a dois eixos perpendiculares à haste: um passando pelo centro e outro pela extremidade. O conteúdo de matéria é cálculo de momento de inércia por integração em uma distribuição linear de massa e verificação do teorema dos eixos paralelos (Steiner).

Passo 2

Para o eixo pelo centro, colocamos a haste ao longo do eixo x de -a/2 a a/2. A densidade linear de massa é
\lambda = \frac{M}{a},
e um elemento de massa é \mathrm{d}m = \lambda\,\mathrm{d}x. O momento de inércia em torno do centro é
I_{\mathrm{cm}} = \int_{-a/2}^{a/2} x^{2}\,\mathrm{d}m = \int_{-a/2}^{a/2} x^{2}\,\lambda\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Efetuando a integral,
I_{\mathrm{cm}} = \lambda \int_{-a/2}^{a/2} x^{2}\,\mathrm{d}x = \frac{M}{a}\,\biggl[\frac{x^{3}}{3}\biggr]_{-a/2}^{a/2} = \frac{M}{a}\,\frac{2\,(a/2)^{3}}{3} = \frac{M\,a^{2}}{12}.

Passo 4

Para o eixo na extremidade, parametrize x de 0 a a medido da extremidade, com o mesmo \lambda. Então
I_{\text{ext}} = \int_{0}^{a} x^{2}\,\mathrm{d}m = \int_{0}^{a} x^{2}\,\lambda\,\mathrm{d}x = \frac{M}{a}\,\biggl[\frac{x^{3}}{3}\biggr]_{0}^{a} = \frac{M\,a^{2}}{3}.

Passo 5

Pelo teorema dos eixos paralelos, deve valer
I_{\text{ext}} \;=\; I_{\mathrm{cm}} + M\,d^{2},
onde d = a/2. Substituindo
I_{\mathrm{cm}} + M\Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{2} = \frac{M\,a^{2}}{12} + M\,\frac{a^{2}}{4} = \frac{M\,a^{2}}{12} + \frac{3\,M\,a^{2}}{12} = \frac{M\,a^{2}}{3},
que coincide com I_{\text{ext}}.

Resposta

I_{\mathrm{cm}} = \dfrac{M\,a^{2}}{12}
I_{\text{ext}} = \dfrac{M\,a^{2}}{3}

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