1 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Calcule o momento de inércia de uma haste de comprimento a e massa
em relação a um eixo perpendicular passando pelo seu centro. Repita o cálculo para o momento de inércia em relação a um eixo também perpendicular, mas passando pela extremidade. Verifique se os resultados estão consistentes com o teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner).
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de uma haste uniforme de comprimento
e massa
em relação a dois eixos perpendiculares à haste: um passando pelo centro e outro pela extremidade. O conteúdo de matéria é cálculo de momento de inércia por integração em uma distribuição linear de massa e verificação do teorema dos eixos paralelos (Steiner).
Passo 2
Para o eixo pelo centro, colocamos a haste ao longo do eixo
de
a
. A densidade linear de massa é
e um elemento de massa é
. O momento de inércia em torno do centro é
Passo 3
Efetuando a integral,
Passo 4
Para o eixo na extremidade, parametrize
de
a
medido da extremidade, com o mesmo
. Então
Passo 5
Pelo teorema dos eixos paralelos, deve valer
onde
. Substituindo
que coincide com
.