5 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Mostre que o torque resultante das forças que atuam num sistema de partículas não é necessariamente igual ao torque da força resultante. Em que condições isto acontece?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num sistema de partículas, o vetor torque resultante
\mathbf{N} \;=\;\sum_{i}\mathbf{r}_{i}\times\mathbf{F}_{i}
não é em geral igual ao torque da força resultante
\mathbf{N}' \;=\;\mathbf{r}_{0}\times\Bigl(\sum_{i}\mathbf{F}_{i}\Bigr),
onde \mathbf{r}_{0} é o ponto de aplicação da força resultante. O conteúdo é produto vetorial e suas propriedades de linearidade. Vamos usar a divisão de cada posição \mathbf{r}_{i} em torno de \mathbf{r}_{0} para comparar os dois torques.

Passo 2

Escolhemos um ponto de referência \mathbf{r}_{0} (por exemplo a origem ou o ponto de aplicação da força resultante) e escrevemos
\mathbf{r}_{i} \;=\;\mathbf{r}_{0}+\boldsymbol{\rho}_{i},
onde definimos \boldsymbol{\rho}_{i}=\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{0}. Então o torque resultante fica
\mathbf{N} =\sum_{i}\mathbf{r}_{i}\times\mathbf{F}_{i} =\sum_{i}\bigl(\mathbf{r}_{0}+\boldsymbol{\rho}_{i}\bigr)\times\mathbf{F}_{i}.

Passo 3

Usando linearidade do produto vetorial em cada soma,
\mathbf{N} =\sum_{i}\mathbf{r}_{0}\times\mathbf{F}_{i} \;+\;\sum_{i}\boldsymbol{\rho}_{i}\times\mathbf{F}_{i} =\mathbf{r}_{0}\times\Bigl(\sum_{i}\mathbf{F}_{i}\Bigr) \;+\;\sum_{i}\boldsymbol{\rho}_{i}\times\mathbf{F}_{i}.
Reconhecemos o primeiro termo como o torque da força resultante \mathbf{N}'. Logo
\mathbf{N} =\mathbf{N}' \;+\;\sum_{i}(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{0})\times\mathbf{F}_{i}.
Em geral o segundo termo não é nulo, daí \mathbf{N}\neq\mathbf{N}'.

Passo 4

Para que \mathbf{N}=\mathbf{N}' é preciso que
\sum_{i}(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{0})\times\mathbf{F}_{i} =\mathbf{0}.
Física-mene isso significa que todas as linhas de ação de \mathbf{F}_{i} devem passar pelo mesmo ponto \mathbf{r}_{0} (forças concorrentes) ou, no caso de forças paralelas, que cada vetor \mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{0} seja paralelo à respectiva \mathbf{F}_{i}. Somente nessas condições o torque resultante coincide com o torque da força resultante.

Resposta

O torque resultante difere do torque da força resultante por um termo extra
\sum_{i}(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{0})\times\mathbf{F}_{i},
que em geral não é zero. Eles coincidem se e somente se
\sum_{i}(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{0})\times\mathbf{F}_{i}=\mathbf{0},
ou seja, quando todas as forças são concorrentes num mesmo ponto \mathbf{r}_{0} ou, para sistema de forças paralelas, cada posição relativa \mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{0} é paralela à respectiva força \mathbf{F}_{i}.

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