5 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Mostre que o torque resultante das forças que atuam num sistema de partículas não é necessariamente igual ao torque da força resultante. Em que condições isto acontece?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num sistema de partículas, o vetor torque resultante
não é em geral igual ao torque da força resultante
onde
é o ponto de aplicação da força resultante. O conteúdo é produto vetorial e suas propriedades de linearidade. Vamos usar a divisão de cada posição
em torno de
para comparar os dois torques.
Passo 2
Escolhemos um ponto de referência
(por exemplo a origem ou o ponto de aplicação da força resultante) e escrevemos
onde definimos
. Então o torque resultante fica
Passo 3
Usando linearidade do produto vetorial em cada soma,
Reconhecemos o primeiro termo como o torque da força resultante
. Logo
Em geral o segundo termo não é nulo, daí
.
Passo 4
Para que
é preciso que
Física-mene isso significa que todas as linhas de ação de
devem passar pelo mesmo ponto
(forças concorrentes) ou, no caso de forças paralelas, que cada vetor
seja paralelo à respectiva
. Somente nessas condições o torque resultante coincide com o torque da força resultante.
Resposta
O torque resultante difere do torque da força resultante por um termo extra
que em geral não é zero. Eles coincidem se e somente se
ou seja, quando todas as forças são concorrentes num mesmo ponto
ou, para sistema de forças paralelas, cada posição relativa
é paralela à respectiva força
.