1 (BARCELOS. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana & Hamiltoniana) - Mostre que:
\begin{array}{ll} \vec{a} \cdot(\nabla \vec{r})=\vec{a} & \nabla \times \vec{r}=0 \\\ (\vec{a} \times \nabla) \times \vec{r}=-\vec{a} & \nabla(\vec{a} \cdot \vec{r})=\vec{a} \\\ (\vec{a} \cdot \nabla) \vec{r}=\vec{a} & \nabla \times(\nabla \varphi)=0 \\\ \nabla \cdot \vec{r}=3 & \end{array}
nas quais a é um vetor constante e \varphi é uma função escalar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar várias identidades de cálculo vetorial envolvendo o vetor posição \vec r=(x,y,z), o operador nabla \nabla, um vetor constante \vec a e uma função escalar \varphi. Para isso usamos
\vec r = x_i\,\hat e_i,
\nabla = \hat e_i\,\partial_i com \partial_i\equiv\frac{\partial}{\partial x_i},
e a relação fundamental
\frac{\partial r_j}{\partial x_i}=\frac{\partial x_j}{\partial x_i}=\delta_{ij}\,.

Passo 2

Da identidade \partial_i r_j=\delta_{ij} segue que o tensor \nabla\vec r tem componentes (\nabla r)_{ij}=\delta_{ij}. Assim:
\vec a\cdot(\nabla\vec r) = a_i\,\delta_{ij}\,\hat e_j =\vec a,
(\vec a\cdot\nabla)\vec r = a_i\,\partial_i r_j\,\hat e_j = a_i\,\delta_{ij}\,\hat e_j =\vec a,
\nabla(\vec a\cdot\vec r) =\nabla(a_i x_i) =a_i\,\nabla x_i =a_i\,\hat e_i =\vec a,
\nabla\cdot\vec r =\partial_i r_i =\delta_{ii} =3,
\nabla\times\vec r=0 \quad(\text{pois cada componente é }\epsilon_{ijk}\,\partial_j x_k=0),é
\nabla\times(\nabla\varphi)=0 \quad(\text{o curl de um gradiente é sempre zero}).é

Passo 3

Para (\vec a\times\nabla)\times\vec r usamos a identidade vetorial
(\vec a\times\nabla)\times\vec r =\nabla(\vec a\cdot\vec r)-\vec a\,(\nabla\cdot\vec r).
Substituindo \nabla(\vec a\cdot\vec r)=\vec a e \nabla\cdot\vec r=3 obtém-se
(\vec a\times\nabla)\times\vec r =\vec a-3\vec a =-2\,\vec a.
Observação: o enunciado afirma -\vec a, mas o cálculo dá -2\vec a, indicando provável erro de impressão.

Resposta

\vec a\cdot(\nabla\vec r)=\vec a
\nabla\times\vec r=0
(\vec a\times\nabla)\times\vec r=-2\vec a (ver observação)
\nabla(\vec a\cdot\vec r)=\vec a
(\vec a\cdot\nabla)\vec r=\vec a
\nabla\times(\nabla\varphi)=0
\nabla\cdot\vec r=3

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