Questão 01 - Uma espaçonave está em uma missão exploratória no sistema Terra-Lua. Considere somente a interação da Terra e da Lua, desprezando os demais astros. Considere a massa da Terra
, a massa da Lua
, a massa da espaçonave
, a distância média do centro da Terra ao centro da Lua
, o raio da Terra
, o raio médio da Lua
e a constante gravitacional universal
.
[0,8 P] a) Determine a altura h (medida a partir da superfície da Terra) em que a aceleração gravitacional exercida apenas pela Terra sobre a espaçonave tem módulo igual a
.
[0,9 P] b) Considerando agora a presença da Lua, calcule o módulo, direção e sentido da força gravitacional resultante sobre a espaçonave no ponto encontrado no item anterior. Considere que a espaçonave está ao longo da linha entre os centros da Terra e da Lua.
[0,9 P] c) Determine a posição x em relação ao centro de massa da Terra, ao longo da linha que une os centros da Terra e da Lua, em que a força gravitacional resultante sobre a espaçonave é nula. Suponha que a espaçonave esteja localizada entre a Terra e a Lua.
[0,8 P] a) Determine a altura h (medida a partir da superfície da Terra) em que a aceleração gravitacional exercida apenas pela Terra sobre a espaçonave tem módulo igual a
[0,9 P] b) Considerando agora a presença da Lua, calcule o módulo, direção e sentido da força gravitacional resultante sobre a espaçonave no ponto encontrado no item anterior. Considere que a espaçonave está ao longo da linha entre os centros da Terra e da Lua.
[0,9 P] c) Determine a posição x em relação ao centro de massa da Terra, ao longo da linha que une os centros da Terra e da Lua, em que a força gravitacional resultante sobre a espaçonave é nula. Suponha que a espaçonave esteja localizada entre a Terra e a Lua.
Passo 1
O enunciado fala de uma espaçonave de massa
sujeita às atrações gravitacionais da Terra (
) e da Lua (
), separadas por
. No item (a) precisamos aplicar a lei da gravitação de Newton isoladamente para a Terra:
resolver
e depois achar a altura
.
No item (b) vamos somar vetorialmente as forças da Terra e da Lua sobre a espaçonave em e encontrar módulo, direção e sentido.
No item (c) buscamos a posição (medida do centro da Terra) tal que
No item (b) vamos somar vetorialmente as forças da Terra e da Lua sobre a espaçonave em
No item (c) buscamos a posição
garantindo força resultante nula entre Terra e Lua.
Passo 2
Para (a), impomos
Substituindo
e
,
A altura acima da superfície da Terra é
Passo 3
No ponto
do centro da Terra, a força da Terra vale
direcionada para o centro da Terra. A distância à Lua é
logo a atração lunar é
no sentido do centro da Lua. A força resultante (positiva em direção à Terra) é
Portanto a resultante tem módulo
, direção ao longo da linha Terra–Lua e sentido para a Terra.
Passo 4
Para (c), igualamos as intensidades
Com
, obtém-se
Resposta
(a)
(b) , ao longo da linha Terra–Lua, sentido para a Terra.
(c) do centro da Terra.
(b)
(c)