Questão 01 - Uma espaçonave está em uma missão exploratória no sistema Terra-Lua. Considere somente a interação da Terra e da Lua, desprezando os demais astros. Considere a massa da Terra 5,97 \times 10^{24} \mathrm{~kg}, a massa da Lua 7,35 \times 10^{22} \mathrm{~kg}, a massa da espaçonave 5,00 \times 10^{3} \mathrm{~kg}, a distância média do centro da Terra ao centro da Lua 3,84 \times 10^{8} \mathrm{~m}, o raio da Terra 6,37 \times 10^{6} \mathrm{~m}, o raio médio da Lua 1,74 \times 10^{6} \mathrm{~m} e a constante gravitacional universal 6,67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg}^{2}.
[0,8 P] a) Determine a altura h (medida a partir da superfície da Terra) em que a aceleração gravitacional exercida apenas pela Terra sobre a espaçonave tem módulo igual a 0,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
[0,9 P] b) Considerando agora a presença da Lua, calcule o módulo, direção e sentido da força gravitacional resultante sobre a espaçonave no ponto encontrado no item anterior. Considere que a espaçonave está ao longo da linha entre os centros da Terra e da Lua.
[0,9 P] c) Determine a posição x em relação ao centro de massa da Terra, ao longo da linha que une os centros da Terra e da Lua, em que a força gravitacional resultante sobre a espaçonave é nula. Suponha que a espaçonave esteja localizada entre a Terra e a Lua.

Passo 1

O enunciado fala de uma espaçonave de massa \,m=5{,}00\times10^3\mathrm{\,kg} sujeita às atrações gravitacionais da Terra ( M_E=5{,}97\times10^{24}\mathrm{\,kg}) e da Lua ( M_L=7{,}35\times10^{22}\mathrm{\,kg}), separadas por D=3{,}84\times10^8\mathrm{\,m}. No item (a) precisamos aplicar a lei da gravitação de Newton isoladamente para a Terra:
g(r)=\frac{G\,M_E}{r^2}\,,
resolver \,g(r)=0{,}50\mathrm{\,m/s^2} e depois achar a altura h=r-R_E.
No item (b) vamos somar vetorialmente as forças da Terra e da Lua sobre a espaçonave em r e encontrar módulo, direção e sentido.
No item (c) buscamos a posição x (medida do centro da Terra) tal que
\frac{G\,M_E}{x^2}=\frac{G\,M_L}{\bigl(D - x\bigr)^2}\!,
garantindo força resultante nula entre Terra e Lua.

Passo 2

Para (a), impomos
\frac{G\,M_E}{r^2}=0{,}50\quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{\frac{G\,M_E}{0{,}50}}.
Substituindo G=6{,}67\times10^{-11}\mathrm{\,N\,m^2/kg^2} e M_E=5{,}97\times10^{24}\mathrm{\,kg},
r=\sqrt{\frac{6{,}67\times10^{-11}\times5{,}97\times10^{24}}{0{,}50}} \approx2{,}82\times10^7\mathrm{\,m}.
A altura acima da superfície da Terra é
h=r-R_E=2{,}82\times10^7 - 6{,}37\times10^6 \approx2{,}19\times10^7\mathrm{\,m}.

Passo 3

No ponto r=2{,}82\times10^7\mathrm{\,m} do centro da Terra, a força da Terra vale
F_E=m\,g=5{,}00\times10^3\times0{,}50=2{,}50\times10^3\mathrm{\,N},
direcionada para o centro da Terra. A distância à Lua é
d=D-r=3{,}84\times10^8 - 2{,}82\times10^7 =3{,}557\times10^8\mathrm{\,m},
logo a atração lunar é
F_L=\frac{G\,M_L\,m}{d^2} =\frac{6{,}67\times10^{-11}\times7{,}35\times10^{22}\times5{,}00\times10^3} {\bigl(3{,}557\times10^8\bigr)^2} \approx1{,}94\times10^{-1}\mathrm{\,N},
no sentido do centro da Lua. A força resultante (positiva em direção à Terra) é
F_{\rm res}=F_E - F_L \approx2{,}50\times10^3 - 0{,}194 \approx2{,}4998\times10^3\mathrm{\,N}.
Portanto a resultante tem módulo \approx2{,}50\times10^3\mathrm{\,N}, direção ao longo da linha Terra–Lua e sentido para a Terra.

Passo 4

Para (c), igualamos as intensidades
\frac{G\,M_E}{x^2}=\frac{G\,M_L}{(D-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{D-x}{x}=\sqrt{\frac{M_L}{M_E}} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{D}{1+\sqrt{M_L/M_E}}.
Com \sqrt{M_L/M_E}=\sqrt{7{,}35\times10^{22}/5{,}97\times10^{24}}\approx0{,}1109, obtém-se
x=\frac{3{,}84\times10^8}{1+0{,}1109}\approx3{,}456\times10^8\mathrm{\,m}.

Resposta

(a) h\approx2{,}19\times10^7\mathrm{\,m}.
(b) F_{\rm res}\approx2{,}50\times10^3\mathrm{\,N}, ao longo da linha Terra–Lua, sentido para a Terra.
(c) x\approx3{,}456\times10^8\mathrm{\,m} do centro da Terra.

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