Questão 04 - Uma bebida leve (essencialmente água de densidade 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) escoa em um tubo de uma fábrica com vazão volumétrica tal que deve encher 600 latas de 350 ml por minuto. Em um ponto 1 do tubo, a pressão manométrica é igual a 175 kPa , e a área da seção reta é igual a 12,0 \mathrm{~cm}^{2}. Em um ponto 2, situado 1,80 \mathrm{~m} acima do ponto 1 , a área da seção reta é igual a 3,00 \mathrm{~cm}^{2}. Obtenha
[ 0,9 \mathrm{P}] a) a vazão volumétrica e a vazão mássica;
[0,9 \mathbf{P}] \mathbf{b}) as velocidades do escoamento nos pontos 1 e 2 ;
[\mathbf{0 , 8} \mathbf{P}] \mathbf{c )} a pressão manométrica no ponto 2 .

Passo 1

O enunciado trata de água com densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} escoando de modo a encher 600 latas de 350\\ \mathrm{mL} por minuto. No ponto 1 temos pressão manométrica p_1=175\\ \mathrm{kPa} e área da seção reta A_1=12{,}0\\ \mathrm{cm^2}. No ponto 2, que está 1{,}80\\ \mathrm m acima de 1, a área é A_2=3{,}00\\ \mathrm{cm^2}. Precisamos calcular:
a) vazão volumétrica e mássica;
b) velocidades nos pontos 1 e 2;
c) pressão manométrica em 2.

Passo 2

Cada lata tem volume 350\\ \mathrm{mL}=3{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}. Como são 600 latas por minuto, a vazão volumétrica é
\dot V = 600 \times 3{,}50\times10^{-4}\\ \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{min}} =0{,}21\\ \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{min}}
Convertendo para segundos:
\dot V = \frac{0{,}21}{60}\\ \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{s}} =3{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.
A vazão mássica é
\dot m = \rho\,\dot V =1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times3{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} =3{,}50\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

As áreas em metros quadrados são
A_1 = 12{,}0\\ \mathrm{cm^2}=12{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}=1{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}, \quad A_2 = 3{,}00\\ \mathrm{cm^2}=3{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
As velocidades vêm de v=\dot V/A:
v_1 = \frac{3{,}50\times10^{-3}}{1{,}20\times10^{-3}} \approx2{,}92\\ \mathrm{m/s}, \quad v_2 = \frac{3{,}50\times10^{-3}}{3{,}00\times10^{-4}} \approx11{,}67\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Para achar p_2 usamos Bernoulli entre 1 e 2, sem perdas:
\frac{p_1}{\rho}+\frac{v_1^2}{2}+g\,z_1 =\frac{p_2}{\rho}+\frac{v_2^2}{2}+g\,z_2,
onde z_2=z_1+1{,}80. Isolando p_2 e multiplicando tudo por \rho:
p_2 = p_1 +\frac{\rho}{2}(v_1^2 - v_2^2) +\rho g\,(z_1 - z_2).
Substituindo números ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}):
p_2 =175\times10^{3} +\tfrac{1000}{2}\bigl(2{,}92^2 - 11{,}67^2\bigr) -1000\cdot9{,}81\cdot1{,}80 \approx93{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

(a) \dot V=3{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}, \dot m=3{,}50\\ \mathrm{kg/s}.
(b) v_1\approx2{,}92\\ \mathrm{m/s}, v_2\approx11{,}67\\ \mathrm{m/s}.
(c) p_2\approx93{,}5\\ \mathrm{kPa} (manométrica).

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