Um barco atravessa o Rio Potengi, saindo da margem norte e em direção à margem sul, com uma velocidade de 10 km / h em relação à água e fazendo um ângulo de 30^circ ao leste da linha imaginária que liga a margem norte à sul. Há um brisa do mar para o continente, cuja velocidade é de 14 km / h, com um ângulo de 45^circ ao norte da linha leste-oeste. Qual o módulo e direção da velocidade vento medido por um anemômetro no barco?

Passo 1

O enunciado pede para achar a velocidade do vento medida por um anemômetro no barco. O conteúdo aqui é decomposição de vetores em componentes cartesianas e velocidade relativa ( vec vvento/remo =vec vvento/térreo - vec vbarco/térreoéé). Vamos precisar decompor as velocidades do barco e do vento, subtrair o vetor barco do vetor vento e, por fim, usar Pitágoras e arctan para módulo e direção.

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos com origem no barco: eixo +x para leste e eixo +y para norte. A velocidade do barco em relação à água tem módulo 10,km/h e vai de norte para sul com desvio de 30^circ para leste (ou seja, 30^circ a leste do eixo negativo y). Assim, suas componentes são:
A componente em x (leste) é dada por
vbx = 10,cos(60^circ) = 10 times tfrac12 = 5,km/h
e a componente em y (norte) é
vby = -10,sin(60^circ) = -10 times tfracraiz32 = -5raiz3 approx -8,66,km/h
(negativa porque aponta para o sul).

Passo 3

A velocidade do vento em relação ao solo tem módulo 14,km/h e direção 45^circ ao norte da linha leste–oeste (isto é, 45^circ acima do eixo +x). Suas componentes são:
Em x:
vwx = 14,cos(45^circ) = 14 times tfracraiz22 = 7raiz2 approx 9,90,km/h
Em y:
vwy = 14,sin(45^circ) = 7raiz2 approx 9,90,km/h

Passo 4

Agora calculamos a velocidade do vento relativa ao barco fazendo
vec vvento/remo = vec vvento/térreo - vec vbarco/térreo éé
ou seja, em componentes:
Para x:
vrel,x = vwx - vbx = 9,90 - 5 = 4,90,km/h
Para y:
vrel,y = vwy - vby = 9,90 - (-8,66) = 18,56,km/h

Passo 5

O módulo da velocidade relativa é dado por Pitágoras:
|vec vvento/remo| = raiz(4,90)^2 + (18,56)^2 approx 19,2,km/h
A direção, medida como ângulo a leste da direção norte, vem de arctan:
theta = arctanl(tfrac4,9018,56r) approx 14,8^circ

Passo 6

Portanto, o vento sentido no barco tem módulo e direção como a seguir.

Resposta

Módulo approx19,2,km/h e direção approx14,8^circ a leste do norte.

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