(2.0 Pontos) Determine a transformação linear T: P2 P2 tal que T(1)=x, T(x)= 1+x^2 e . Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma transformação linear T: P2to P2 sabendo como ela age em 1, x, x^2. Vamos usar a base canônica 1,x,x^2 e a propriedade de linearidade.

Passo 2

Qualquer polinômio pin P2 pode ser escrito como p(a,b,c)=a+bx+cx^2 para alguns escalares a,b,c. A teoria diz que uma transformação linear fica totalmente determinada pela sua ação em uma base do espaço.
Escrevemos então p(a,b,c)=acdot1+bcdot x+ccdot x^2. Pela linearidade de T temos:
T(a+bx+cx^2)=a,T(1)+b,T(x)+c,T(x^2)
Usando os dados do enunciado:
=a,(x)+b,(1+x^2)+c,(x-2x^2)
Agora basta agrupar termos semelhantes em 1, x, x^2:
=b + (a+c),x + (b-2c),x^2

Passo 3

Portanto a regra de T em um polinômio genérico a+bx+cx^2 é dada por T(a+bx+cx^2) = b + (a+c)x + (b-2c)x^2.

Resposta

T(a+bx+cx^2)=b + (a+c)x + (b-2c)x^2.

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