Dados os vetores
u=a i+5 j
v=3 i-2 j+k
e
w=i+j-k
determine o valor de a para que o volume do paralelepípedo dado por u, v e w seja 24 u.v.

Passo 1

No exercício, temos os vetores u=a,i+5,j, v=3,i-2,j+k e w=i+j-k. O volume V do paralelepípedo formado por esses vetores é dado pelo produto escalar misto:
O conteúdo aqui é produto escalar misto de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Para calcular o produto vetorial vtimesw, montamos o determinante:
v times w = i & j & k 3 & -2 & 1 1 & 1 & -1 = i[(-2)(-1)-1cdot1] - j[3(-1)-1cdot1] + k[3cdot1-(-2)cdot1]
Calculando cada componente, obtemos
v times w = i(2-1) - j(-3-1) + k(3+2) = i + 4,j + 5,k

Passo 3

Em seguida, fazemos o produto escalar de u com esse resultado:
u cdot (v times w) = (a,,5,,0) cdot (1,,4,,5) = acdot1 + 5cdot4 + 0cdot5 = a + 20

Passo 4

Para que o volume seja 24 unidades de volume, impomos
|u cdot (v times w)| = |a + 20| = 24
Isso leva a duas equações:
a + 20 = 24 Longrightarrow a = 4,
a + 20 = -24 Longrightarrow a = -44

Resposta

a = 4 ou a = -44

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