Exercício 7 Seja T: V V um operador linear e lambda um auto-valor de T. Mostre que lambda^2 é autovalor de T^2=T circ T, com os mesmos auto-vetores. Generalize mostrando que lambda^k é auto-valor de T^k=T circ cdots circ T, também com os mesmos auto-vetores. Conclua que se T é diagonalizável então T^k também é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado considera um operador linear T: V to V e um auto-valor lambda com auto-vetor vneq 0, ou seja T(v)=lambda v. A matéria envolvida é autovalores e autovetores de operadores lineares e a propriedade de diagonalização; vamos usar a definição de auto-vetor e aplicar indução para passar de T para potências T^k.

Passo 2

Pela definição de autovalor e autovetor, temos T(v)=lambda v. Aplicando T novamente em v, obtemos
T^2(v)=Tl(T(v)r)=T(lambda v)=lambda,T(v)=lambda,(lambda v)=lambda^2 v

Passo 3

Isso mostra que v é autovetor de T^2 associado ao autovalor lambda^2.

Passo 4

Para generalizar ao caso T^k, usamos indução em k. Já vimos para k=1 e k=2. Suponha que T^m(v)=lambda^m v para algum m>=1. Então
T^m+1(v)=Tl(T^m(v)r)=T(lambda^m v)=lambda^m T(v)=lambda^m(lambda v)=lambda^m+1v

Passo 5

Pela indução, vale T^k(v)=lambda^k v para todo kinN. Logo, lambda^k é autovalor de T^k com o mesmo auto-vetor v.

Passo 6

Se T é diagonalizável, existe uma base de V formada por autovetores de T. Como estes são também autovetores de T^k, na mesma base a matriz de T^k será diagonal com entradas lambda1^k,dots,lambdan^k. Portanto T^k também é diagonalizável.

Resposta

Para cada auto-vetor v de T com auto-valor lambda, vale T^k(v)=lambda^k v, logo lambda^k é auto-valor de T^k com os mesmos auto-vetores; e se T é diagonalizável, então T^k também é diagonalizável.

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