Exercício 7 Seja
um operador linear e
um auto-valor de T. Mostre que
é autovalor de
, com os mesmos auto-vetores. Generalize mostrando que
é auto-valor de
, também com os mesmos auto-vetores. Conclua que se
é diagonalizável então
também é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado considera um operador linear
e um auto-valor
com auto-vetor
, ou seja
. A matéria envolvida é autovalores e autovetores de operadores lineares e a propriedade de diagonalização; vamos usar a definição de auto-vetor e aplicar indução para passar de
para potências
.
Passo 2
Pela definição de autovalor e autovetor, temos
. Aplicando
novamente em
, obtemos
Passo 3
Isso mostra que
é autovetor de
associado ao autovalor
.
Passo 4
Para generalizar ao caso
, usamos indução em
. Já vimos para
e
. Suponha que
para algum
. Então
Passo 5
Pela indução, vale
para todo
. Logo,
é autovalor de
com o mesmo auto-vetor
.
Passo 6
Se
é diagonalizável, existe uma base de
formada por autovetores de
. Como estes são também autovetores de
, na mesma base a matriz de
será diagonal com entradas
. Portanto
também é diagonalizável.
Resposta
Para cada auto-vetor
de
com auto-valor
, vale
, logo
é auto-valor de
com os mesmos auto-vetores; e se
é diagonalizável, então
também é diagonalizável.