Um barco autônomo está navegando em um lago, coletando dados ambientais como temperatura e qualidade da água. A posiçāo do barco em qualquer instante té descrita pelo vetor posiçāo:
r(t)=(3,00 t^2-8,00) i+(4,00 t^3-6,00 t) j+(2,00 t-15,0) k(m)
Analise as afirmativas e marque a(s) resposta(s) correta(s):
A funçāo da velocidade do barco pode ser escrita como: v^(t)=(6,00 t) i^wed>=+(12,0 t^2-6,00) j^n+2,00 t k^wed>=(m / s)
A funçāo da aceleraçāo do barco pode ser escrita como: a(t)=[(6,00) i+(24,0 t) j]] m / s^2
A direçāo do vetor aceleraçāo em t=2,00 s é de 82,9^circ
Na direçāo y a classificaçāo do movimento é simplesmente Movimento Variado.
O módulo da velocidade em 1,00 s é de 76,0 m / s.

Passo 1

O enunciado dá a posição do barco em função do tempo
vec r(t) = l(3,00,t^2 - 8,00r)hatimath + l(4,00,t^3 - 6,00,tr)hatjmath + l(2,00,t - 15,0r)hat k
e pede para verificar cinco afirmativas sobre velocidade, aceleração, ângulo, classificação do movimento em y e módulo de vec v. Vamos usar derivação para obter vec v e vec a, trigonometria para o ângulo, análise de dependência de t para a classificação e norma de vetor para o módulo.

Passo 2

A velocidade é a derivada da posição:
vec v(t) = dvec rdt = l(6,00,tr)hatimath + l(12,00,t^2 - 6,00r)hatjmath + l(2,00r)hat k
Comparando com a afirmativa 1, o termo em hat k está errado (não é 2,00,t mas sim constante 2,00). Logo, afirmativa 1 é falsa.

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade:
vec a(t) = dvec vdt = l(6,00r)hatimath + l(24,00,tr)hatjmath + l(0r)hat k
Isso coincide com a afirmativa 2 (desde que se entenda que o componente em hat k é zero). Logo, afirmativa 2 é verdadeira.

Passo 4

Em t=2,00rm s,
vec a(2) = (6,00,,48,00,,0)
O ângulo theta em relação ao eixo x satisfaz
theta = arctan!l(tfracayaxr) = arctan!l(tfrac486r) approx 82,9^circ,
logo a afirmativa 3 é verdadeira.

Passo 5

Na direção y temos
vy(t)=12,00,t^2-6,00, ay(t)=24,00,t,
ambos dependentes de t, ou seja, aceleração não constante, caracterizando movimento variado. Assim, afirmativa 4 é verdadeira.

Passo 6

Em t=1,00rm s
vec v(1) = (6,,6,,2),
seu módulo é
|vec v(1)| = raiz6^2 + 6^2 + 2^2 = raiz76approx8,72rm m/s,
e não 76,0rm m/s. Portanto, afirmativa 5 é falsa.

Resposta

As afirmativas corretas são 2, 3 e 4.

Exercícios relacionados