Um barco se move com:
  • Velocidade própria: 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h} a 45^{\circ} (NE)
  • Correnteza: 5 \mathrm{~km} / \mathrm{h} a 180^{\circ} (S)
Calcule velocidade resultante (módulo e direção).

Passo 1

O problema pede para calcular a velocidade resultante (módulo e direção) de um barco que tem duas velocidades dadas. As informações fornecidas são:
\text{Velocidade própria do barco: } \(20\\ \mathrm{km/h}\) \text{ a } \(45^\circ\) \;(\text{NE})
\text{Correnteza: } \(5\\ \mathrm{km/h}\) \text{ a } \(180^\circ\) \;(\text{S})
Queremos a velocidade resultante (módulo e direção) do barco levando em conta a corrente.

Passo 2

Escolhemos um sistema de referência claro para decompor vetores: eixo x aponta para leste (East) e eixo y aponta para norte (North).
Como as direções foram dadas com pontos cardeais (NE, S), vamos interpretar os ângulos como azimutes medidos a partir do norte no sentido horário (isto é: 0^\circ = norte, 90^\circ = leste, 180^\circ = sul).
Para um vetor de magnitude v com azimute \theta (medido a partir do norte, sentido horário), as componentes nesse sistema são:
v_x = v\sin\theta \quad(\text{componente leste})
v_y = v\cos\theta \quad(\text{componente norte})
Explicação rápida do porquê: quando \theta=0^\circ (norte), \sin0^\circ=0 então v_x=0 e \cos0^\circ=1 então v_y=v; quando \theta=90^\circ (leste), \sin90^\circ=1 e \cos90^\circ=0, etc. Isso garante que estamos alinhados com as direções cardeais corretamente.

Passo 3

Decompomos a velocidade própria do barco: v_1=20\\ \mathrm{km/h} a \theta_1=45^\circ (NE). Usando as fórmulas:
v_{1x} = 20\sin45^\circ = 20\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}
v_{1y} = 20\cos45^\circ = 20\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}
Valores numéricos aproximados (para cálculos posteriores):
v_{1x}\approx 14{,}142\\ \mathrm{km/h},\qquad v_{1y}\approx 14{,}142\\ \mathrm{km/h}.

Passo 4

Decompomos a correnteza: v_2=5\\ \mathrm{km/h} a \theta_2=180^\circ (S). Aplicando as fórmulas:
v_{2x} = 5\sin180^\circ = 5\cdot 0 = 0
v_{2y} = 5\cos180^\circ = 5\cdot(-1) = -5
Ou seja, a corrente só tem componente ao sul (componente norte negativa): v_{2x}=0, v_{2y}=-5\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Somamos componente a componente para obter a velocidade resultante:
v_x = v_{1x}+v_{2x} = 10\sqrt{2}+0 = 10\sqrt{2}
v_y = v_{1y}+v_{2y} = 10\sqrt{2}-5
Valores numéricos:
v_x\approx 14{,}142\\ \mathrm{km/h},\qquad v_y\approx 9{,}142\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

Calculamos o módulo (velocidade escalar) da resultante usando o teorema de Pitágoras para componentes:
v = \sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Substituindo:
v = \sqrt{(10\sqrt{2})^{2} + (10\sqrt{2}-5)^{2}} = \sqrt{425 - 100\sqrt{2}}.
Aproximação numérica:
v \approx \sqrt{283{,}5786438}\approx 16{,}84\\ \mathrm{km/h}.
Interpretação: o barco, somando sua velocidade própria com a corrente, anda cerca de 16{,}84\\ \mathrm{km/h} em relação ao solo (água + corrente).

Passo 7

Agora a direção. Queremos o azimute \theta medido a partir do norte (sentido horário). Com as componentes v_x (leste) e v_y (norte), usamos a função arco-tangente cuidando do quadrante: uma forma prática é
\theta = \operatorname{atan2}(v_x,\,v_y)
onde \operatorname{atan2}(x,y) dá o ângulo cujo tangente é x/y e posiciona corretamente o ângulo entre 0^\circ e 360^\circ conforme os sinais. Calculando:
\theta = \operatorname{atan2}\big(10\sqrt{2},\,10\sqrt{2}-5\big)\approx 57{,}5^\circ.
Interpretação em linguagem de bússola: isso é um ângulo de 57{,}5^\circ medido a partir do norte em direção ao leste, que se escreve como \mathrm{N}57{,}5^\circ\mathrm{E}. Ou seja, o rumo fica entre NE e E, um pouco mais voltado para leste do que o rumo original do barco.

Passo 8

Resumo final (repare que aqui já temos os valores numéricos arredondados de forma prática para a prova):
  • Módulo da velocidade resultante: 16{,}84\\ \mathrm{km/h}.
  • Direção (azimute a partir do norte, sentido horário): 57{,}5^\circ (equivalente a \mathrm{N}57{,}5^\circ\mathrm{E}).
Força aí — com esse passo a passo você já consegue decompor qualquer velocidade com correnteza numa prova! Boa sorte.

Resposta

16{,}84\\ \mathrm{km/h}
57{,}5^\circ (azimute, isto é, \mathrm{N}57{,}5^\circ\mathrm{E})

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